Beamforming

1. 阵列简介

1.1 均匀线阵

假设0、1、…M-1阵元的均匀线阵中，参考阵元接收的信号为$s(t)$，则第$m$个阵元接收到的信号为$s(t-{\tau }_m)$，傅里叶变换如下

  $$S_m(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{s}_m(t)e^{-j\omega t}dt$$

                           　　 $={\int }_{-\infty }^{+\infty }s(t-{\tau }_m)e^{-j\omega t}dt$
　　　
                               $=S(\omega )e^{-j\omega {\tau }_m}$

则阵列接收的信号可以表示为

$$X(\omega )=S(\omega )[1e^{-j\omega {\tau }_{\mathrm{１}}}{e}^{-j\omega {\tau }_{\mathrm{２}}}\dots e^{-j\omega {\tau }_{M-1}}]$$

其中，定义

$$a=[1e^{-j\omega {\tau }_{\mathrm{１}}}{e}^{-j\omega {\tau }_{\mathrm{２}}}\dots e^{-j\omega {\tau }_{M-1}}]$$

为阵元的响应向量（array response vector），也称作阵列流形(array manifold vector)。
  同时，也定义波数（wave number）如下
$$\kappa =\frac{\omega }{c}a$$
其中$\omega =2\pi k{f}_s/N_{fft}$为数字角频率
　　在delauy-and-sum beamformer中，每个阵元的权值即为该阵元相对参考阵元需要补偿的相位延迟，因此权值即为阵列流形的共轭转置
　　根据上面的分析，写出窄带线性阵列的delay-and-sum波束图代码如下

delay-and-sum beamformer

M=8;                 % 阵元数
c=340;                         % 声速
f = 2125;                      % 信号频率
d = 0.08;                      % 阵元间距
theta=linspace(-pi/2,pi/2,200);% 入射信号角度范围
theta0=30*pi/180;                      % 注视方向
w=exp(1j*2*pi*f*sin(theta0)*[0:M-1]'*d/c);       % 导向向量
p = zeros(length(1:length(theta)),1);
for  j=1:length(theta)                                     % 角度扫描
    a=exp(-1j*2*pi*f*sin(theta(j))*[0:M-1]'*d/c);% 入射信号方向向量
    p(j)=sum(w.*a)/M;                                        % 延时-求和
end
% 画图
figure;
plot(theta/pi*180,abs(p)),grid on
xlabel('degree')
ylabel('amplitude')
title('8阵元均匀线阵方向图')

方向图如下

1.2 均匀圆阵

跟上面的分析相同，关键地方就是写出阵列流形向量和权值向量
　　假设$M$阵元均匀圆阵，半径为$R$，阵元在$x-y$平面上，则各个阵元相对$x$轴的夹角${\gamma }_m=2\pi m/M$，均匀圆阵中，一般以圆心为参考，要写出阵列方向向量，就是要计算当单位平面波以夹角$(\varphi ，\theta )$入射时，各阵元相对圆心接收到的信号时间差。

计算上图¹

中的距离$d$，就要计算这个余弦角$\beta$，由三余弦定理（查百度才知道叫这个名字，逃~）有

$$cos(\beta )=cos(\varphi -{\gamma }_m)sin(\theta )$$

然后，就可以计算得到距离差,得到时间差

$${\tau }_m=Ｒcos(\varphi -{\gamma }_m)sin(\theta )／ｃ$$

最后，根据上面线阵的相同分析，可以直接写出均匀圆阵的的阵列流形向量如下

$$a=\left[\begin{array}{c}{e}^{-j\omega Ｒcos(\varphi -{\gamma }_0)sin(\theta )/c}\\ e^{-j\omega Ｒcos(\varphi -{\gamma }_1)sin(\theta )/c}\\ ...\\ e^{-j\omega Ｒcos(\varphi -{\gamma }_{M-1})sin(\theta )/c}\end{array}\right]$$

然后，写出均匀圆阵的delay-and-sum波束图就简单了

M=8;                 % 阵元数
c=340;                         % 声速
f = 2125;                      % 信号频率
r = 0.08;                      % 阵元间距
phi=linspace(0,2*pi,360);% 入射信号角度范围

theta = 80*pi/180; %固定一个俯仰角
gamma = (0:360/M:360-360/M)*pi/180;%麦克风位置

tao = r*sin(theta)*cos(angle(1)-gamma)/c;     %方位角 0 < angle <360

phi0=60*pi/180;                      % 注视方向
w=exp(1j*2*pi*f*r*cos(phi0-gamma)*sin(theta)/c);       % 导向向量
p = zeros(length(1:length(phi)),1);
for  j=1:length(phi)                                     % 角度扫描
    a=exp(-1j*2*pi*f*r*cos(phi(j)-gamma)*sin(theta)/c);% 入射信号方向向量
    p(j)=sum(w.*a)/M;                                        % 延时-求和
end
% 画图
figure;
plot(phi/pi*180,abs(p)),grid on
xlabel('degree')
ylabel('amplitude')
title('均匀圆阵方向图')

%画极坐标图
figure,polarplot(phi,abs(p))

另外,圆阵是面阵,可以进行二维空间搜索,简单改下程序,画出三维图

M=8;                 % 阵元数
c=340;                         % 声速
f = 2125;                      % 信号频率
r = 0.08;                      % 阵元间距
phi=linspace(0,2*pi,360);% 入射信号方位角范围

theta = linspace(0,pi/2,90);% 入射信号俯仰角范围

gamma = (0:360/M:360-360/M)*pi/180;%麦克风位置


phi0=130*pi/180;                      % 注视方向
theta0 = 80*pi/180;

w=exp(1j*2*pi*f*r*cos(phi0-gamma)*sin(theta0)/c);       % 导向向量
p = zeros(length(1:length(phi)),length(theta));
for i = 1:length(theta)
    for  j=1:length(phi)                                     % 角度扫描
        a=exp(-1j*2*pi*f*r*cos(phi(j)-gamma)*sin(theta(i))/c);% 入射信号方向向量
        p(j,i)=sum(a.*w)/M;                                        % 延时-求和
    end
end
% 画图

figure,mesh(abs(p))

注视方向在(130,80)时的阵列方向图如下所示

 上图中可以看到，均匀圆阵的延时累加波束形成在俯仰角上的精度很差，在0~40度的范围内几乎无法分辨

2. 宽带波束形成

  上面程序中都指定了一个固定频率,做的是窄带波束形成，而语音信号为宽带信号，此时的波束图应该同时是入射方向跟信号频率的函数。
宽带波束形成可以在时域和频域实现，，下面分别简单介绍

2.1 时域处理

  时域处理就是根据某一最优准则设计出一组FIR系数，或者叫sensor delay-lines (SDLs)，还有叫tapped delay-lines
(TDLs)，框图如下，一些时域LCMV、MVDR都属于这种框架

2.2 频域处理

  频域处理是利用DFT，将信号变换到频域，然后在每个频率带上使用窄带的方法做波束形成，最后将各个子带信号相加变回到时域，框图如下

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1. Design of robust high-order superdirectivity for circular arrays with sensor gain and phase errors。 ↩︎