线性表出、线性相关的定理总结思考

线性表出、线性相关的定理总结思考

1.n维向量组 α1,α2,α3,...,αs 线性相关，
⟺ 齐次方程组

(α1,α2,α3,...,αs)⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1x2...xs⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=0

有非零解。
⟺ 秩 r(α1,α2,α3,...,αs)<s

s是向量的个数。个数减掉秩得到的是自由变量的个数。

由此引申出一些好用的推论：
+ n个n维向量线性相关，则等价于行列式为0。
+ n+1个n维向量必然线性相关。
+ 如果 α1,α2,α3,...,αr 线性相关，则 α1,α2,α3,...,αr,αr+1,...,αs 必然线性相关。

这个解释为：瘦时相关，长胖了并不改变内核。数学角度看，原本的几个相关，那么加入的新的向量赋予系数为0即可，所以还是满足相关的定义。

• 如果n维向量组 α1,α2,α3,...,αs 线性无关，则它的延伸组
  
  (α1β1),(α2β2),...,(αsβs)
  
  也必线性无关。
  

这个可以理解为：矮的时候无人关心，长高了仍然无人关心。数学角度理解便是：原始的数据都找不到不全为零的系数满足方程，现在加了新的，老问题未解决，新的就更不可能解决了。
2.n维向量组 β 可以由向量组 α1,α2,..,αm 线性表出 ⟺ 非齐次方程 x1α1+x2α2+...+xmαm=β 有解 ⟺ 秩 r(α1,α2,..,αm)=r(α1,α2,..,αm,β)

3.两个n维向量组(I) α1,α2,..,αs , (II) β1,β2,...,βt

如果(I)能由(II)线性表出且s > t， 则 α1,α2,..,αs 线性相关。

这个公式总是要转换一番才能运用起来。这里思考一下：s > t表示的是I向量组的向量个数较多，但是少的那个可以表达多的，那么多的这个向量组一定线性相关。简称：以少表多，多必相关。这里不必限定任何一个向量组是线性无关。

一个更常用的推论：若I可以由II表出，且I线性无关。反推s和t的关系：则 s≤t

用一个向量组表达一个已知的线性无关的向量组，则必须要相同数目甚至更多数目的向量。