最速下降法/梯度下降法

梯度下降法在机器学习中是经常用到的一种方法，很多人也把梯度下降法看作是最速下降法，但是这两种方法好像还有一些细微差别，wikipedia中Gradient descent的描述中有这么一句：Gradient descent is also known as steepest descent. However, gradient descent should not be confused with the method of steepest descent for approximating integrals.由于我也没有弄明白梯度下降和最速下降的区别，所以本文中将会用最速下降来统一说明。
在讲解梯度下降算法之前，先讲一下梯度下降的解决的问题是什么。梯度下降解决的是无约束最优化问题，与之相对应的是约束最优化问题。无约束最优化问题的一般形式为：

minf(x)

其中 f:Rn→R1 。这一问题是指在 Rn 中寻找一点 x∗ ，使得对于 ∀x∈Rn ，都与

f(x∗)≤f(x)

点 x∗ 就是全局最优解。
梯度下降法是多元函数求极值最早的方法。梯度下降法简单直观，但是收敛速度慢。之所以收敛速度慢是由于梯度下降会出现锯齿现象，将会慢慢讲解。

基本思想

最速下降法通过迭代的方式求函数 f(x) 的最优解。给定一个初始点，通过迭代找到下一个点，我们希望找到的下一个点能比上一个点有更优的函数值。那么最速下降法最重要的一点就是应该如何迭代，这用到了上一篇博客中的一个小知识：给定点 xk ，点 xk 处的负梯度方向为最速下降方向，至少在点 xk 的临近范围内是这样的。所以我们可以在点 xk 处选择搜索方向

pk=−∇f(xk)。

在选定了搜索方向之后我们就可以沿着搜索方向进行搜索，然后选择点 xk+1 ，其中

xk+1=xk−tk∇f(xk)

，其中 tk 为沿负梯度方向的搜索距离，我们称为步长因子。我们把上式成为最速下降迭代公式，可以简记为

xk+1=1s(xk,−∇f(xk))

，由该公式产生的算法称为最速下降法。
在知道迭代公式之后，我们希望得到步长因子 tk 能够满足

f(xk−tk∇f(xk))=minf(xk−t∇f(xk))

，即我们希望 xk+1 为搜索方向上函数值“最小”的点。
对于任意给定的函数 f(x) ，最速下降法不一定能找到函数的全局最优点（全局极小点），可能会找找到函数的局部极小点。

算法描述

为了书写简单，记 gk=g(xk)=∇f(xk) 。
最速下降法
已知：目标函数 f(x) 以及梯度 g(x) ，H终止准则所需要的终止限 ϵ1，ϵ2，ϵ3

1:选择初始点 x0 ；计算 f0=f(x0) ， g0=g(x0) ；置 k=0 ；
2:作直线搜索 xk+1=1s(xk,−gk) ；计算 fk+1=f(xk+1) ， gk+1=g(xk+1) ；
3:判断H终止准则是否满足：若满足，则输出 xk+1 ， fk+1 否则，置 k=k+1 ，转2。

关于直线搜索和H终止准则我将会在在下一篇博客中做补充说明。直线搜索是为了求解一元函数极小化问题而的迭代方法（在算法描述中使用直线搜索来找最优的 tk ，从而通过公式 xk+1=xk−tk∇f(xk) 找到下一个迭代点 xk+1 ，需要知道的是在这里求解 tk 时，并一定使用迭代法，在一元函数可微或者可导的情况下，也可以直接通过导数方法进行求解），在这里是为了求得每一步的步长因子 tk ；H终止准则是一种终止条件，常见的终止条件如函数值的变化范围小于阈值 ϵ 时终止。

应用于正定二次函数

在介绍了最速下降法的基本逻辑之后，我们可以知道最速下降法关键步骤是求解每一步的步长因子 tk ，而对于正定二次函数

f(x)=12xTQx+bTx+c

是可以推出显示迭代公式的。推导过程如下。
设第 k 个迭代点为 xk ，求 xk+1 的表达式。正定二次函数 f(x) 的一阶偏导数为 g(x)=Qx+b ，因此 gk=g(xk)=Qxk+b 。从 xk 出发做直线搜索便可以得到 xk+1 ，即 xk+1=xk−tkgk ， tk 为最优步长因子。
由于最速下降法的连续的两次的搜索方向是垂直的（将在锯齿现象中进行详细讲解），即

gTk+1gk=0

。便可以得到

[Q(xk−tkgk)]Tgk=0

，可以推出

[gk−tkQgk]Tgk=0

，可解得

tk=gTkgkgTkQgk

，可以得到

xk+1=xk−gTkgkgTkQgkgk

。上式便是最速下降法应用于正定二次函数时的显示迭代公式。

锯齿现象

在最速下降法中，迭代点向极小点靠近的过程中，走的是曲折的路线：后一次的搜索方向 pk+1 与前一次的搜索方向 pk 总是互相垂直的，称之为锯齿现象。如下图所示（在下图中一个圈表示等值线）。

在远离极小点的地方，最速下降法每次有较多的下降；但是在接近极小点的地方，由于锯齿现象的存在，使得每次迭代行进的距离缩短，收敛速度降低。
造成锯齿现象的关键原因是 pk+1pk=0 (或是 gk+1gk=0 )，下面来解释一下具体原因。造成这种结果的具体原因是在点 xk 沿 pk 方向搜索的过程中，我们找到了该方向上的极小点，即 xk+1 ，也就是是说在 xk+1 处 pk 方向为该点的切线方向（如果不是切线方向，那么该点就不是极小点，还能找到更小的值），而在 xk+1 处的搜索方向为负梯度方向，故 pk+1pk=0 。