韩信点兵问题的神解法
定理1：一个数除以a余数x，除以b余数y，a、b互质且a 设这个数为z，则 z=b(an+x-y)/(b-a)+y (1) 或z=a(bn+x-y)/(b-a)+x (2) 其中n为使(bn+x-y)/(b-a)为正整数的最小值。 证明： 设z=al+x=bm+y 则：al+x-y-am=(b-a)m 所以m=(a(l-m)+x-y)/(b-a) 将变量l-m用独立变量n代替： m= (an+x-y)/(b-a) 将m代入以上等式得到：z=b(an+x-y)/(b-a)+y 同理可以证明等式2 定理2：在定理1等式中，0<=n<=b-a。 证明：从定理1等式中可知n=l-m，因为a 假设n=h(b-a)+k，k<=b-a 代入以上算式z=b(ah(b-a)+ak+x-y)/(b-a)+y=ahb+b(ak+x-y)/(b-a)，由此可知，n可以取值为k。 根据以上两个定理来计算韩信点兵问题，具有两个方面的优点： 1、 将两个变量合并成了一个变量，从而只需要尝试一个变量即可。 2、 这一个变量的范围被两个除数的值界定，需要尝试的最多次数是确定的。 例1：一个数除以9余5，除以13余4，求这个数的最小值 列出算式：13*(9n+5-4)/(13-9)+4=13*(9n+1)/4+4 显然能让相除结果为整数的n的最小值为3，代入则得：13*(9*3+1)/4+4=95。 例2：一个数除以13余10，除以17余5，求这个数的最小值 列出算式：17*(13n+10-5)/(17-13)+5=17*(13n+5)/4+5 显然能让相除结果为整数的n的最小值也为3，代入则得：17*(13*3+5)/4+5=192 以上算法比传统算法更简便，但依然有缺陷，即如果除数的值比较大时，要获得满足条件的n的值尝试的次数也会相应增大，从而对于大数相除时也会计算量太大，无法手算，用计算机计算也会比较耗时。以下介绍一种即使对大数计算也非常有效的方法，无论多大的数，计算量都增加很少。 首先证明两个定理： 定理3： 在定理1中，z=b(an+x-y)/(b-a)+y，必存在一个m，使得z= b(am+(x-y)mod(a))/(b-a)+y。 证明：设x-y=ak+(x-y)mod(a)则：z=b(a(m+k)+(x-y)mod(a))/(b-a)+y，故m=n-k即可。 定理4： 在算式(an+x)/b中，必存在一个m，使得(am+x)/((b)mod(a))= (an+x)/b。 证明：设k=(an+x)/b，b=al+(b)mod(a)则：an+x=bk=alk+k((b)mod(a)) 所以k=(a(n-lk)+x)/((b)mod(a))=(an+x)/b，只要n=n-lk即可。 定理5： 算式(an+x)/b，当a 证明：根据定理3 (an+x)/b=(al+xmod(a))/b 根据定理4 (al+xmod(a))/b=(am+xmod(a))/(bmod(a)) 所以(an+x)/b=(am+xmod(a))/(bmod(a)) 设m=(an+x)/b，则可以假设z=an+x=bm，则问题转化为：z除以a余x，除以b余0，求z的值。而根据定理5，则可以将算式中的b的值不断递归取余，直至其值为1，而此时n的值则为0。 由此实现的算法，最终不需要计算n的值，只需要分母的值递归至1即可，此时满足条件的n的最小值必定是0。 以下举例说明算法： 例3：一个数z除以347余159，除以362余181，求其值。 z=362*(347n+159-181)/(362-347)+181 =362*(347n+(-22)mod(347))/15+181 =362*(347n+325)/15+181 以下求347n+325的最小值z1，满足：除以347余325，除以15余0，所以其值为： 347*(15n-325)/(347-15)+325 =347*(15n+(-325)mod(15))/332mod(15)+325 =347*(15n+5)/2+325 以下求15n+5的最小值z2，满足：除以15余5，除以2余0，所以其值为： 15*(2n-5)/(15-2)+5 =15*(2n+(-5)mod(2))/13mod(2)+5 =15*(2n+1)/1+5 分母为1，令n=0，则z2=20，所以z1=347*(z2)/2+325=347*20/2+325=3795 所以z=362*z1/15+181=362*3795/15+181=91767 经过2次递归计算出结果。共进行3次乘法，三次除法，三次加法，6次减法，6次求余。 例4：一个数z除以385余251，除以793余563，求其值。 z=793*(385n+251-563)/(793-385)+563 =793*(385n+(251-563)mod(385))/408mod(385)+563 =793*(385n+73)/23+563 以下求385n+73的最小值z1，满足：除以385余73，除以23余0，所以其值为： 385*(23n-73)/(385-23)+73 =385*(23n+(-73)mod(23))/362mod(23)+73 =385*(23n+19)/17+73 以下求23n+19的最小值z2，满足：除以23余19，除以17余0，所以其值为： 23*(17n-19)/(23-17)+19 =23*(17n+(-19)mod(17))/6+19 =23*(17n+15)/6+19 以下求17n+15的最小值z3，满足：除以17余15，除以6余0，所以其值为： 17*(6n-15)/(17-6)+15 =17*(6n+(-15)mod(6))/11mod(6)+15 =17*(6n+3)/5+15 以下求6n+3的最小值z4，满足：除以6余3，除以5余0，所以其值为： 6*(5n-3)/(6-5)+3 =6*(5n+(-3)mod(5))/1mod(5)+3 =6*(5n+2)/1+3 分母为1，所以令n=0，则z4=6*2+3=15， 所以z3=17*z4/5+15=17*15/5+15=66, 所以z2=23*66/6+19=272 所以z1=385*z2/17+73=385*272/17+73=6233 所以z=793*z1/23+563=793*6233/23+563=215466 共经过四次递归计算出结果。共进行5次乘法，5次除法，5次加法，10次减法，10次求余。 由此可知，计算量由递归次数决定。设递归次数为n，则乘法、除法和加法的次数为n+1，减法和求余的次数为2(n+1)。 从以上两例可以看出，与传统计算方法相比，大大简化。其递归模式可以非常容易用程序实现，而且当除数比较大时，只要最终结果值不大于数据类型的最大值，用程序计算就不会发生溢出。以下给出javascript代码，将以下代码拷贝到一个空白文档，并以.html为后缀名保存文件后，用浏览器打开该文件即可运行（其中：a1为第一个除数，a2为第一个余数，b1为第二个除数，b2为第二个余数）： DOCTYPE htmlPUBLIC "-//W3C//DTDXHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"> <head> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /> <title>韩信点兵神器，无论多大的数都能算title> head> <script type="text/javascript" language="javascript"> var count=0; function doCalculate(){ vara1=parseInt(document.getElementById("devider1").value); vara2=parseInt(document.getElementById("rest1").value); varb1=parseInt(document.getElementById("devider2").value); varb2=parseInt(document.getElementById("rest2").value); varresult=calculate(a1,a2,b1,b2); if(result>0){ document.getElementById("result").value=result; alert("共进行了"+count + "次乘法、除法和加法，"+count*2 + "次减法和求余"); count=0; } else window.alert("两个除数不是互质"); return; } function calculate(a1,a2,b1,b2){ if(isRelativelyPrime(a1,b1)==false) return 0; count += 1; vartemp=a1; if(a1>b1){ a1=b1; b1=temp; temp=a2; a2=b2; b2=temp; } varnewA1=a1; varnewA2=getMod(a2-b2,a1); //保证余数大于0 varnewB2=0; varnewB1=(b1-a1)%a1; if(newB1==1) return b1*newA2+b2; returnb1*(calculate(newA1,newA2,newB1,newB2)/newB1)+b2; } function getMod(x,n){ while(x<0){ x+=n; } returnx%n; } function isRelativelyPrime(m,n){ vard1,d2,d3=1; if(m<=n){//将小数放到d1中 d1=m; d2=n; } else{ d1=n; d2=m; } while(d3!=0){ d3=d2%d1; d2=d1; d1=d3; } if(d2==1)return true; return false; } script> <body> <form METHOD=POST ACTION="" name="frm1" id="frm1"> 除以 <input type="text" name="devider1" id="devider1" value="5" /> 余 <input type="text" name="rest1" id="rest1" value="3" /> <br /> 除以 <input type="text" name="devider2" id="devider2" value="7" /> 余 <input type="text" name="rest2" id="rest2" value="4" /> <br /> 结果： <input type="text" name="result" id="result" /> <input value="计算" type="button" onClick="doCalculate()" /> form> body> html>