最长回文子串——动态规划和马拉车算法

题目

s,找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1:

输入: “babad”
输出: “bab”
注意: “aba” 也是一个有效答案。

示例 2:

输入: “cbbd”
输出: “bb”

分析

我们首先要理解什么是"回文",回文就是无论从前往后读还是从后往前读都是一样的,如:“abcba”,"noon"等。那么要求回文串,最简单直接的方法就是暴力法,列出它的所有子串,并逐一判断是不是回文串。
这样的话我们分析一下它的时间复杂度。

方法一:暴力法

假设一个字符串的长度为 n n n,它的子串的个数为 ( n 2 ) = n ( n − 1 ) 2 ( 2 n ​ ) = 2 n ( n − 1 ) \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}( 2n​ )= 2n(n−1) (2n)=2n(n1)(2n)=2n(n1)(不包括字符本身是回文的一般解法)的总数。因为验证每个子字符串需要 O ( n ) O(n) O(n)的时间,所以运行时间复杂度是 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)。但是这个时间复杂度很高,我们需要想办法优化它。

方法二:动态规划

为了改进暴力法,我们首先观察如何避免在验证回文时进行不必要的重复计算。考虑 “ababa” \textrm{“ababa”} “ababa”,这个示例。如果我们已经知道 “bab” \textrm{“bab”} “bab”是回文,那么很明显, “ababa” \textrm{“ababa”} “ababa”一定是回文,因为它的左首字母和右尾字母是相同的。
我们给出 P ( i , j ) P(i,j) P(i,j) 的定义如下:
P ( i , j ) = { true, 如果子串 S i … S j 是回文子串 false, 其它情况 ​ P(i,j) = \begin{cases} \text{true,} &\quad\text{如果子串} S_i \dots S_j \text{是回文子串}\\ \text{false,} &\quad\text{其它情况} \end{cases} ​ P(i,j)={true,false,如果子串SiSj是回文子串其它情况
因此,
P ( i , j ) = ( P ( i + 1 , j − 1 )  and  S i = = S j ) P(i, j) = ( P(i+1, j-1) \text{ and } S_i == S_j ) P(i,j)=(P(i+1,j1) and Si==Sj)
基本示例如下:
P ( i , i ) = t r u e P(i, i) = true P(i,i)=true
P ( i , i + 1 ) = ( S i = = S i + 1 ) P(i, i+1) = ( S_i == S_{i+1} ) P(i,i+1)=(Si==Si+1)
这产生了一个直观的动态规划解法,我们首先初始化一字母和二字母的回文,然后找到所有三字母回文,并依此类推…
复杂度分析
时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),这里给出我们的运行时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
空间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),该方法使用 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),的空间来存储表。
实现算法如下:

 public String longestPalindrome(String s) {
     String substr = "";
    if (null == s || s.length() == 0){
      return substr;
    }
    if (s.length() == 1){
      return s;
    }
    int length = s.length();
    boolean[][] isPalindrome = new boolean[length][length];
    substr = s.substring(0,1);
    for (int i = 1;i=0;j--){
        isPalindrome[i][j] = s.charAt(i) == s.charAt(j) && ( i - j < 3 || isPalindrome[i-1][j+1]);
        if (isPalindrome[i][j] && i - j+1 > substr.length()){
          substr = s.substring(j,i+1);
        }
      }
    }
    return substr;
  }
}

实例分析

下面我们看下, a c b c b a acbcba acbcba,定义一个二维数组isPalindrome[i][j],当 i == j时,数组值为true,根据上面的公式首先从 i = 1, j = i -1;开始

string a c b c b a
i and j j i
isPalindrome[i][j] false
i and j j i
isPalindrome[i][j] false
i and j j i
isPalindrome[i][j] false
i and j j i
isPalindrome[i][j] false
i and j j i
isPalindrome[i][j] true

这样我们就找到了第一个长度大于1的回文额子串,后面依次类推,就可得出最终结果。

方法三:马拉车算法

未完待续。。。

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