最小二乘法理论推导算法

1、引言

• 求最小二乘的实例：

假定 x ,  y 有如下数值： 
y　|　1.00　|　0.90　|　0.90　|　0.81　|　0.60　|　0.56　|　0.35 
x　|　3.60　|　3.70　|　3.80　|　3.90　|　4.00　|　4.10　|　4.20

解：将这些数值画图可以看出接近一条直线，故用 y=ax+b 表示，故将上面的数值代入表达式有：

3.6a+b−1.00=03.7a+b−0.90=03.8a+b−0.90=03.9a+b−0.81=04.0a+b−0.60=04.1a+b−0.56=04.2a+b−0.35=0

由于直线只有两个未知数 a ,  b ，理论上只需要两个方程就能求得，但是实际上是不可能的，因为所有点并没有真正的在同一条直线上，即不可能所有的数值都满足

ax+b−y＝0

，故只需找到一对儿 a 、 b ，使得误差平方和

∑(axi+b−yi)2=(ax0+b−y0)2+(ax1+b−y1)2+......+(axn+b−yn)2

最小即可。

误差的平方即二乘方，故成为最小二乘法。

2、最小二乘法理论（使得平方和最小）

2.1 数学理论推导

• 线性方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+...+a1sxs−b1=0,a21x1+a22x2+...+a2sxs−b2=0,......an1x1+an2x2+...+ansxs−bn=0,　(1)

该方程组可能无解，即任何一组 x1,x2,...,xs （这里为系数）都可能使得

∑i=1n(ai1x1+ai2x2+...+aisxs−bi)2(2)

不等于零。所以找到一组 x1,x2,...,xs 使得(2)式最小，称这样的解为最小二乘解，这种问题就叫最小二乘方问题。

对于（１）式，我们可以用矩阵来表示， 
自变量矩阵 A :

A=⎡⎣⎢⎢⎢a11a21.an1a12a22.an2..........a1sa2s.ans⎤⎦⎥⎥⎥(3)

函数值 B :

B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢b1b2...bn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(4)

系数 X :

X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1x2...xs⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(5)

函数值 Y :

Y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∑j=1sa1jxj∑j=1sa2jxj...∑j=1sanjxj⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=AX(4)

故（２）式等价于：

|Y−B|2=|AX−B|2=∑i=1n(ai1x1+ai2x2+...+aisxs−bi)2

也就是说，最小二乘法就是找 x1,x2,...,xs 使得 Y 与 B 的距离最短。

对于（4）式 Y ，可以写为如下形式：

Y=x1⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21...an1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥+x2⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a12a22...an2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥+...+xs⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a1sa2s...ans⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=x1α1+x2α2+...+xsαs(5)

其中 αi 为对应的列向量，由 αi 生成的子空间为 L(α1,α2,...,αs) ,那么 Y 就是 L(α1,α2,...,αs) 中的向量，故最小二乘法问题可叙述成：

找 X 使得（2）式最小，就是在 L(α1,α2,...,αs) 中找一向量 Y 使得 B 到它的距离比到子空间 L(α1,α2,...,αs) 中其它向量的距离都短。

设 Y=AX=x1α1+x2α2+...+xsαs ，则

C=B−Y=B−AX

必须垂直于子空间 L(α1,α2,...,αs) ，故有

(C,α1)=(C,α2)=...=(C,αs)=0

由向量内积的定义可知：

α′1C=0,α′2C=0,...,α′sC=0(6)

向量的内积：

α=(a1,a2,...,an) ,

β=(b1,b2,...,bn) ,

则 α 和 β 的内积为： (α,β)=a1b1+a2b2+...+anbn

由（6）式可得：

A′C=0

即：

A′C=A′(B−Y)=A′(B−AX)=0

从而有：

A′B−A′AX=0

A′B=A′AX

X=(A′A)−1A′B

其中 |A′A|≠0

2.2 常见形式

2.2.1 理论

根据2.1节，可以得出以下形式( s+1≤n ):

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a1x11+a2x12+...+asx1s+b−y1=0,a1x21+a2x22+...+asx2s+b−y2=0,......a1xn1+a2xn2+...+asxns+b−yn=0,　(2.2.1)

这里是常见的方程表示形式 aj 为系数， b 为常数项, xij 为自变量， yi 为函数值。一般我们解方程都是根据 aj 和 b 求得 yi=a1xi1+a2xi2+...+asxis+b ，但在解决实际问题时，一般我们都是知道 xij 和 yi ，需要反过来求解 aj 和 b 。

根据（2.2.1）式，设：

X=⎡⎣⎢⎢⎢x11x21.xn1x12x22.xn2..........x1sx2s.xns1111⎤⎦⎥⎥⎥

a=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a1a2...asb⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢y1y2...yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

那么：

Xa=y

X′Xa=X′y

a=(X′X)−1X′y

2.2.2 算法

• 算法步骤 
  

1、输入 X ， y  

2、求 a=(X′X)−1X′y

参考

《高等代数》北大三版