计算机算法设计与分析学习笔记1

基本概念

程序 = 算法 + 数据结构

算法描述如何解决一类问题的一种方法，满足如下性质：

-输入：一类问题的实例
- 输出：针对实例的解
- 确定性：每条指令无歧义
- 有限性：有限循环

程序 不满足有限性性质, eg. 操作系统为无限循环。

为某一类问题设计算法，具体流程如下：

算法复杂性分析

复杂性分析主要体现在：

• 时间复杂性T(n)
• 空间复杂性S(n)

其中，n 表征问题的规模大小。

算法的时间复杂性主要考虑：

• 最坏情况下的时间复杂性，上界

  Tmax(n)=max{T(I)|size(I)=n} T m a x ( n ) = m a x { T ( I ) | s i z e ( I ) = n }

• 最好情况下的时间复杂性， 下界

  Tmin(n)=min{T(I)|size(I)=n} T m i n ( n ) = m i n { T ( I ) | s i z e ( I ) = n }

• 平均复杂性

  Tavg(n)=∑size(I)=np(I)T(I) T a v g ( n ) = ∑ s i z e ( I ) = n p ( I ) T ( I )

时间复杂度分析更侧重于渐进性复杂性分析，即

limn→∞T(n)=? lim n → ∞ T ( n ) = ?

5种渐进符号

注意：

即对于一个比较大的程序，通常由几步构成，其时间复杂度取决于最复杂的一步。

判断两个函数的渐进关系

给定函数, f(n), g(n), f(n) > 0, g(n)>0, 有如下定理：

定理1：

limn→∞f(n)/g(n)=c,c为常数⇒f(n)=Θ(g(n)) lim n → ∞ f ( n ) / g ( n ) = c , c 为 常 数 ⇒ f ( n ) = Θ ( g ( n ) )

定理2：

limn→∞f(n)/g(n)=∞⇒f(n)=w(g(n)) lim n → ∞ f ( n ) / g ( n ) = ∞ ⇒ f ( n ) = w ( g ( n ) )

定理3：

limn→∞f(n)/g(n)=0,c为常数⇒f(n)=o(g(n)) lim n → ∞ f ( n ) / g ( n ) = 0 , c 为 常 数 ⇒ f ( n ) = o ( g ( n ) )

常见函数

• 常数
• log(n) 多项式
• n的多项式
• 指数函数
• 阶乘

注意：

不同函数的渐进关系可通过前节的3个定理来判断。

Reference:

课件ch0.Introduction