图像傅里叶变换（二维离散傅里叶变换）

图像傅里叶变换

二维离散傅里叶变换是将图像从空间域转至频域，在图像增强、图像去噪、图像边缘检测、图像特征提取、图像压缩等等应用中都起着极其重要的作用。理论基础是任意函数都可以表示成正弦函数的线性组合的形式。公式如下

逆变换公式如下

令 R(u,v) 和 I(u,c) 分别表示 F(u,v) 的实部和虚部。
幅度谱为

相位谱为

指数表示

功率谱为

示例演示

首先我们演示下，从一幅图像得到其的幅度谱和相位谱，然后再根据幅度谱和相位谱还原图像。代码如下。

void MainWindow::dftTransform(cv::Mat &image)
{
    image.convertTo(image, CV_32F);
    std::vector channels;
    split(image, channels);  //分离图像的RGB通道，
    cv::Mat image_B = channels[0]; //OpenCV:BGR
    //expand input image to optimal size
    int m1 = cv::getOptimalDFTSize(image_B.rows);  //选取最适合做fft的宽和高
    int n1 = cv::getOptimalDFTSize(image_B.cols);
    cv::Mat padded;
    //填充0
    cv::copyMakeBorder(image_B, padded, 0, m1 - image_B.rows, 0, n1 - image_B.cols, cv::BORDER_CONSTANT, cv::Scalar::all(0));
    cv::Mat planes[] = { cv::Mat_(padded), cv::Mat::zeros(padded.size(), CV_32F) };
    cv::Mat complexI;
    cv::merge(planes, 2, complexI);  //planes[0], planes[1]是实部和虚部

    cv::dft(complexI, complexI, cv::DFT_SCALE | cv::DFT_COMPLEX_OUTPUT);
    cv::split(complexI, planes);

    //定义幅度谱和相位谱
    cv::Mat ph, mag, idft;
    cv::phase(planes[0], planes[1], ph);
    cv::magnitude(planes[0], planes[1], mag);  //由实部planes[0]和虚部planes[1]得到幅度谱mag和相位谱ph

    cv::imshow("phase", ph);
    cv::imshow("magnitude", mag);
    /*
    如果需要对实部planes[0]和虚部planes[1]，或者幅度谱mag和相位谱ph进行操作，在这里进行更改
    */


    cv::polarToCart(mag, ph, planes[0], planes[1]);  //由幅度谱mag和相位谱ph恢复实部planes[0]和虚部planes[1]
    cv::merge(planes, 2, idft);
    cv::dft(idft, idft, cv::DFT_INVERSE | cv::DFT_REAL_OUTPUT);
    image_B = idft(cv::Rect(0, 0, image.cols & -2, image.rows & -2));
    image_B.copyTo(channels[0]);
    merge(channels, image);
    image.convertTo(image, CV_8U);
    cv::imshow("idft", image);
}

运行结果