前言
典例剖析
例1当\(x\in [\cfrac{3}{2},4]\)时，不等式\(|ax^2+bx+4a|\leqslant 2x\)恒成立，则\(6a+b\)的最大值是_______________。
分析：由于\(x\in [\cfrac{3}{2},4]\)，故两边同除以\(x\)，得到\(|ax+\cfrac{4a}{x}+b|\leqslant 2\)，
设\(f(x)=ax+\cfrac{4a}{x}+b=a(x+\cfrac{4}{x})+b\)，由于\(x\in [\cfrac{3}{2},4]\)，则\(x+\cfrac{4}{x}\in [4,5]\)，
由于\(|f(x)|\leqslant 2\)，故得到
\(-2\leqslant 4a+b\leqslant 2\)；\(-2\leqslant 5a+b\leqslant 2\)；
\(6a+b=-(4a+b)+2(5a+b)\)，
而\(-2+2\times (-2)\leqslant 6a+b\leqslant 2+2\times2\)，
故\((6a+b)_{max}=6\)
例2已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，当\(x\ge 0\)时，\(f(x)=2^x\)，在区间\([a，a+2]\)上，\(f(x+a)\ge f^2(x)\)恒成立，求\(a\)的取值范围。
分析：由题目易知，当\(x< 0\)时，\(f(x)=2^{-x}\)，即\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2^x，x\geqslant 0}\\{2^{-x}，x<0}\end{array}\right.\)
故函数的解析式\(f(x)=2^{|x|}\)，[说明：此处用到合二为一的策略，便于下一步运算；]
则在区间\([a，a+2]\)上，\(f(x+a)\ge f^2(x)\)恒成立可以转化为
不等式\(2^{|x+a|}\ge 2^{|2x|}\)恒成立，再将超越不等式转化为代数不等式，
即\({|x+a|}\ge {|2x|}\)恒成立，两边平方做差，
即\(3x^2-2ax-a^2\leq 0\)在区间\([a，a+2]\)上恒成立，
令\(h(x)=3x^2-2ax-a^2\)，只需满足\(\begin{cases}h(a)\leq 0\\h(a+2)\leq 0\end{cases}\)，
即\(\begin{cases}3a^2-2a^2-a^2\leq 0\\3(a+2)^2-2a(a+2)-a^2\leq 0\end{cases}\)，
解得\(a\leq -\cfrac{3}{2}\).
解后反思：①、将函数\(f(x)\)的解析式做成分段函数的形式，就很容易将思路引入分类讨论；如果能用到合二为一的策略，就避免了分类讨论的岔路口；再次提醒最好将函数\(f(x)=2^{|x|}\)看成一个模板函数。
②、当转化得到函数\(g(x)=2^{|x+a|}-2^{|2x|}\ge 0\)恒成立后，如果想到分类讨论去掉绝对值符号，就会极其麻烦；
③、如果出现了两个绝对值符号，去掉的最好方法就是同时平方的方法。