Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析 连载【5】

在数学上，斐波那契数列是以递归的方法来定义

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来看profile的记录分析，看时间具体用在哪个部分了

一看，绝大部分时间耗在两句results上了

看来主要都用来大整数运算了

下面来试一下

把这程序里两句“results = ”后面的大数运算注释掉，换成1。也就是两句都成“results = 1”

再运行计时看看

Total time: 0.000753秒

很惊人，去掉大数运算后，运行时间缩短成了原用时的1%。也就是99%时间消耗在Python内置的大数运算上了

下面试下用号称地球上最好的大数运算库替换掉Python内置的大数运算

9.  应用GMP库

全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库，这是一个C写成的高效大数运算库

gmpy2是Python下对GMP库的封装

安装很简单，在操作系统下打命令pip install gmpy2，就安装好了

应用到程序也很简单

把上面的二分迭代解法程序开头添加一行

from gmpy2 import mpz

再把程序里

child_nodes = (n, 1)

child_nodes = (n, 0)

改成

child_nodes = (n, mpz(1))

child_nodes = (n, mpz(0))

就可以了

运行看一下用时

Total time: 0.00689297秒

是原用Python内置大数运算用时的9%

效果显著。可见Python内置大数运算效率确实不怎么样

相关大整数乘法高效算法的介绍可参见这篇《【算法】大数乘法问题及其高效算法》

极大整数乘法的时间复杂度低至近似O(n*log n)

前面二分解法本身时间复杂度是O(log n)

现在把大数因素考虑进去。大数时间复杂度的n可以用二进制位数表示

第n项斐波那契数的二进制位数k跟n是线性关系，n*10，那位数k也是*10

现在把极大整数乘法时间复杂度代入，O(n*log n)*O(log n)=O(n*(log n)^2)

也就是在大数情况下二分解法的时间复杂度为O(n*(log n)^2)

可以看这篇《为什么算法渐进复杂度中对数的底数总为2》解释

10.  矩阵解法

斐波那契数列和矩阵的关系推导我看到GoCalf Blog里写的一段非常清晰，特在此引用

http://www.gocalf.com/blog/calc-fibonacci.html

这解法就是求矩阵的n-1次幂。矩阵幂运算也能根据下面公式迭代二分加速

就是所谓的矩阵快速幂

Python里库很丰富，大名鼎鼎的numpy就是一个有关矩阵的库。这库是有优化的，算矩阵幂就不用个人再写什么矩阵快速幂函数了

用numpy库就能很简单的写出来

因为numpy没有大数支持，大数运算还是要用GMP库

import numpy.matlib

from gmpy2 import mpz

def Fibonacci_sequence_06 (n: int) -> int:  #参数n是表示求第n项Fibonacci数

    '返回单项的矩阵解法'

    assert isinstance(n, int), 'n is an error of non-integer type.'

    if n>=0:

        fib_matrix = numpy.mat(((mpz(1), mpz(1)), (mpz(1), mpz(0))))

        fib_matrix **= n-1

        return fib_matrix[0,0]

    else:

        return None

Fibonacci_sequence_06(1000000)

同上测用时

Total time: 0.042466秒

这幂运算是二分加速的，时间复杂度为O(log n)

对于固定阶矩阵相乘，乘的次数是个常数，也就是O(1)。虽然这个常数比较大^_*

代入大数时间复杂度，总体复杂度也是O(n*(log n)^2)

这儿来解释下为何矩阵快速幂比二分递归解法时间常数大

我们再来仔细看看斐波那契数列的矩阵形式：

会发现 z 和 y 必然相等，z 没必要再计算一遍。

t = x - y，因此 t 也没必要再计算一遍。

只需要计算矩阵第一列的那两个元素即可：

矩阵快速幂中两个矩阵相乘实际可分解为8次两个大整数乘法，而二分递归中只需要3次两个大整数乘法。所以二分递归时间常数小。

未完待续……

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