sympy求积分|微分|极限|解微分方程|解RLC震荡电路

如果遇到难解的方程组，需要博主帮忙解，可闲鱼搜索：代解方程组，即可。运用python的sympy工具包，可以方便的对相应的方程进行求解。在上一篇文章中，我们用sympy解了复杂的非线性方程组、复数方程组、多元多次方程组，链接如下：

python求解多元多次方程组或非线性方程组

Sympy中有详细的官方文档和相应的例子：官方文档地址：https://docs.sympy.org/dev/index.html

ODE(微分方程组)应用实例：https://docs.sympy.org/dev/modules/solvers/ode.html#

目录

一、求解方程和方程组

1.1 二元一次方程组

1.2 多解

1.3 复数解

1.4 非线性求解

1.5 较为复杂的二元二次方程

二、高等数学相关

2.1 求微分积分和偏微分

2.2 三角函数化简

三、求解较难的问题

3.1 求解RLC震荡电路

---

一、求解方程和方程组

python求解方程组的工具包较多。例如：

•  numpy：numpy.linalg.solve 可以直接求解线性方程组，numpy是python非常常用的包，解的方程也较为初级。
•  scipy：from scipy.optimize import fsolve，可以求解非线性方程组，使用较为方便，但是解集并不完备，可能漏掉一下解（后文会给个例子）scipy可以用于数学、科学、工程领域的常用软件包,可以处理插值、积分、优化，相对较初级易用
•  sympy：此工具包功能相对强大，支持符号计算、高精度计算、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。github地址：https://github.com/sympy/sympy
•  sage，不支持位运算，z3约束求解器，等其他工具包，本文不详述，感兴趣的可以查找相应的内容。

本文详细讲述scipy以及sympy求解多次方程的方法。

没安装可以在teiminal中pip install sympy，此工具包涉及支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散 数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。功能较为强大，解方程组时性能也较好。

sympy官方地址：https://github.com/sympy/sympy

1.1 二元一次方程组

较为简单，

from sympy import *
# 二元一次方程
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
solved_value=solve([2*x+y-1, x-2*y], [x, y])
print(solved_value)

此方法较为简单，但是相应的自变量应当写成符号的形式，x=Symbol('x')

求解后有分数解：

{x: 2/5, y: 1/5}
Program done!

1.2 多解

多解情况与复数解

例如，多个解的情况，sympy可以很好的进行求解

    x = Symbol('x')
    solved_value=solve([x**2-9], [x])
    print(solved_value)

输出结果：

[(-3,), (3,)]

1.3 复数解

复数解也可以很好解出：

    # 复数解
    solved_value = solve([x ** 2 + 9], [x])
    print(solved_value)
    solved_value = solve([x ** 4 - 9], [x])
    print(solved_value)
"""
运行结果：
[(-3*I,), (3*I,)]
[(-sqrt(3),), (sqrt(3),), (-sqrt(3)*I,), (sqrt(3)*I,)]
"""

复数解也能较好解出

1.4 非线性求解

比如三角函数：

 程序均能较好解出

    # 非线性解
    solved_value = solve([sin(x) - 0.5], [x])
    print(solved_value)
    solved_value = solve([sin(x) - 1], [x])
    print(solved_value)

"""
[(0.523598775598299,), (2.61799387799149,)]
[(pi/2,)]
"""

1.5 较为复杂的二元二次方程

 此题较难，无论人来算，很难算出，用scipy工具包也迭代不出解。但是sympy强大的功能可以很好的解出此方程。

    # 二元二次方程组
    x = Symbol('x')
    y=  Symbol('y')
    solved_value=solve([x**2+2*x*y-6,2*x*y-2*y**2+3], [x,y])
    print(solved_value)

有四组实数解：

[(-(-3 + sqrt(13))*sqrt(sqrt(13)/2 + 2), -sqrt(sqrt(13)/2 + 2)),
 ((-3 + sqrt(13))*sqrt(sqrt(13)/2 + 2), sqrt(sqrt(13)/2 + 2)), 
(-sqrt(2 - sqrt(13)/2)*(-sqrt(13) - 3), -sqrt(2 - sqrt(13)/2)), 
(sqrt(2 - sqrt(13)/2)*(-sqrt(13) - 3), sqrt(2 - sqrt(13)/2))]

 复杂的问题终于解出，有四组实数解！

二、高等数学相关

http://www.360doc.com/content/13/1105/05/9934052_326838602.shtml

2.1 求微分积分和偏微分

定积分，不定积分等均可进行运算。

    x=Symbol('x')
    y=atan(x)
    print("一阶导数:",end=' ')
    print(diff(y,x,1)) #一阶导数
    print("二阶导数:",end=' ')
    print(diff(y,x,2)) #二阶导数
    print("积分:",end=' ')
    print(integrate(y,x))  #积分
    print("定积分:", end=' ')
    print(integrate(y, (x,0,3*pi/2)))   #定积分
    print("广义积分:", end=' ')
    print(integrate(y, (x, 0, +oo)))  # 广义积分
    print('以下为多元方程：')
    a = Symbol('a')
    y2=atan(x+a)
    print("偏导一阶:", end=' ')
    print(diff(y2,x,1)) #偏导一阶
    print("偏导二阶:", end=' ')
    print(diff(y2,x,2)) #偏导二阶
    print("积分:",end=' ')
    print(integrate(y2,x))  #积分
    print("定积分:", end=' ')
    y3=exp(-(x+a+1))
    print(integrate(y3, (x,0,3*pi/2)))   #定积分
    print("广义积分:", end=' ')
    print(integrate(y3, (x, 0, +oo)))  # 广义积分

运行结果：

一阶导数: 1/(x**2 + 1)
二阶导数: -2*x/(x**2 + 1)**2
积分: x*atan(x) - log(x**2 + 1)/2
定积分: -log(1 + 9*pi**2/4)/2 + 3*pi*atan(3*pi/2)/2
广义积分: oo
以下为多元方程：
偏导一阶: 1/((a + x)**2 + 1)
偏导二阶: -2*(a + x)/((a + x)**2 + 1)**2
积分: a*atan(a + x) + x*atan(a + x) - log(a**2 + 2*a*x + x**2 + 1)/2
定积分: exp(-a - 1) - exp(-a - 3*pi/2 - 1)
广义积分: exp(-1)*exp(-a)

2.2 三角函数化简

类似于这种：

    #三角函数
    x=Symbol('x')
    print(cos(3*pi/2-x))
    print(cos(3 * pi / 2 + x))

'''
运行结果：
-sin(x)
sin(x)
'''

直接输出即可化简。

三、求解较难的问题

3.1 求解RLC震荡电路

工程数学和复变函数中，经常遇到一种问题，就是RLC的震荡电路。此类问题，较为复杂，需要微分方程和电路的知识相结合。但是，如果能将相应的方程写出，则问题会简化很多。

例如此类问题：

 诸如此类的问题有很多，可以看出左边是电路项，右边是激励项。但是只要能写出公式，sympy即可根据公式给出相应的解。

    #求解微分方程
    u = Function('u')
    t = Symbol('t',real=True)
    L = Symbol('L',real=True)
    C = Symbol('C', real=True)
    R = Symbol('R', real=True)
    w = Symbol('w', real=True)
    M = Symbol('M',real=True)
    eq=L*C*u(t).diff(t,2)+R*C*u(t).diff(t,1)+u(t)-M*cos(w*t)

    #eq2= u(t).diff(t,2)+2*u(t).diff(t,1)-u(t)
    print(dsolve(Eq(eq,0),u(t)))

得出解为：

Eq(u(t), -C*L*M*w**2*cos(t*w)/(C**2*R**2*w**2 + (C*L*w**2 - 1)**2) + 
C*M*R*w*sin(t*w)/(C**2*R**2*w**2 + (C*L*w**2 - 1)**2) + 
C1*exp(t*(-R - sqrt(C*(C*R**2 - 4*L))/C)/(2*L)) + 
C2*exp(t*(-R + sqrt(C*(C*R**2 - 4*L))/C)/(2*L)) + 
M*cos(t*w)/(C**2*R**2*w**2 + (C*L*w**2 - 1)**2))

写为公式形式：

 至此，这个较难的工程数学方程就得到了较好的解决。如果遇到难解的方程组，需要博主帮忙解，可闲鱼搜索：代解方程组，即可。

 

 

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