矩阵求导法则

转载自：https://blog.csdn.net/dinkwad/article/details/72819832

矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母xx 表示向量，大写字母X表示矩阵。

首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为

∂f∂X:=[∂f∂Xij]∂f∂X:=[∂f∂Xij]

即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素XijXij的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：df=f′(x)dxdf=f′(x)dx；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：

df=∑i∂f∂xidxi=∂f∂xTdxdf=∑i∂f∂xidxi=∂f∂xTdx

这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度∂f∂x∂f∂x与微分的联系；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：

df=∑i,j∂f∂XijdXij=tr(∂f∂XTdX)df=∑i,j∂f∂XijdXij=tr(∂f∂XTdX)

这里tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，tr(ATB)=∑i,jAijBijtr(ATB)=∑i,jAijBij，这用泛函分析的语言来说tr(ATB)tr(ATB)是矩阵A,B的内积，因此上式与原定义相容。

 

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如f=log(2+sinx)ex√f=log⁡(2+sin⁡x)ex，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

加减法：d(X±Y)=dX±dYd(X±Y)=dX±dY；矩阵乘法：d(XY)=dXY+XdYd(XY)=dXY+XdY；转置：d(XT)=(dX)Td(XT)=(dX)T；迹：dtr(X)=tr(dX)dtr(X)=tr(dX)。 
逆：dX−1=−X−1dXX−1dX−1=−X−1dXX−1。此式可在XX−1=IXX−1=I两侧求微分来证明。 
行列式：d|X|=tr(X#dX)d|X|=tr(X#dX)，其中X#X#表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作d|X|=|X|tr(X−1dX)d|X|=|X|tr(X−1dX)。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。 
逐元素乘法：d(X⊙Y)=dX⊙Y+X⊙dY，⊙d(X⊙Y)=dX⊙Y+X⊙dY，⊙表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。 
逐元素函数：dσ(X)=σ′(X)⊙dX，σ(X)=[σ(Xij)]dσ(X)=σ′(X)⊙dX，σ(X)=[σ(Xij)]是逐元素运算的标量函数。

我们试图利用矩阵导数与微分的联系df=tr(∂f∂XTdX)df=tr(∂f∂XTdX)，在求出左侧的微分df后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：

标量套上迹：a=tr(a)a=tr(a)。 
转置：tr(AT)=tr(A)tr(AT)=tr(A)。 
线性：tr(A±B)=tr(A)±tr(B)tr(A±B)=tr(A)±tr(B)。 
矩阵乘法交换：tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA)。两侧都等于∑i,jAijBji∑i,jAijBji。 
矩阵乘法/逐元素乘法交换：tr(AT(B⊙C))=tr((A⊙B)TC)tr(AT(B⊙C))=tr((A⊙B)TC)。两侧都等于∑i,jAijBijCij∑i,jAijBijCij。

观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，即能得到导数。 
在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得∂f∂Y∂f∂Y，而Y是X的函数，如何求∂f∂X∂f∂X呢？在微积分中有标量求导的链式法则∂f∂x=∂f∂y∂y∂x∂f∂x=∂f∂y∂y∂x，但这里我们不能沿用链式法则，因为矩阵对矩阵的导数∂Y∂X∂Y∂X截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出df=tr(∂f∂YTdY)df=tr(∂f∂YTdY)，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到∂f∂X∂f∂X。

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。

例1：f=aTXb，求∂f∂Xf=aTXb，求∂f∂X。

解：先使用矩阵乘法法则求微分：df=aTdXbdf=aTdXb，再套上迹并做交换：df=tr(aTdXb)=tr(baTdX)df=tr(aTdXb)=tr(baTdX)，对照导数与微分的联系，得到∂f∂X=abT∂f∂X=abT。

注意：这里不能用∂f∂X=aT∂X∂Xb=?∂f∂X=aT∂X∂Xb=?，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

例2【线性回归】：l=∥Xw−y∥2l=‖Xw−y‖2，求∂l∂w∂l∂w。

解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。将向量范数写成l=(Xw−y)T(Xw−y)l=(Xw−y)T(Xw−y)，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：dl=(Xdw)T(Xw−y)+(Xw−y)T(Xdw)=2(Xw−y)TXdwdl=(Xdw)T(Xw−y)+(Xw−y)T(Xdw)=2(Xw−y)TXdw。对照导数与微分的联系，得到∂l∂w=2XT(Xw−y)∂l∂w=2XT(Xw−y)。

例3【多元logistic回归】：l=−yTlogsoftmax(Wx)，求∂l∂Wl=−yTlog⁡softmax(Wx)，求∂l∂W。其中yy是除一个元素为1外其它元素为0的向量；softmax(a)=exp(a)1Texp(a)softmax(a)=exp⁡(a)1Texp⁡(a)，其中exp(a)exp⁡(a)表示逐元素求指数，11代表全1向量。

解：首先将softmax函数代入并写成

l=−yT(log(exp(Wx))−1log(1Texp(Wx)))=−yTWx+log(1Texp(Wx))l=−yT(log⁡(exp⁡(Wx))−1log⁡(1Texp⁡(Wx)))=−yTWx+log⁡(1Texp⁡(Wx))

这里要注意向量除标量求逐元素log满足

log(b/c)=log(b)−1log(c)log⁡(b/c)=log⁡(b)−1log⁡(c)

以及yy满足yT1=1yT1=1。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：

dl=−yTdWx+1T(exp(Wx)⊙(dWx))1Texp(Wx)dl=−yTdWx+1T(exp⁡(Wx)⊙(dWx))1Texp⁡(Wx)

再套上迹并做交换，其中第二项的分子是

tr(1T(exp(Wx)⊙(dWx)))=tr((1⊙exp(Wx))TdWx)=tr(exp(Wx)TdWx)tr(1T(exp⁡(Wx)⊙(dWx)))=tr((1⊙exp⁡(Wx))TdWx)=tr(exp⁡(Wx)TdWx)

，故

dl=tr(−yTdWx+exp(Wx)TdWx1Texp(Wx))=tr(x(softmax(Wx)−y)TdW)dl=tr(−yTdWx+exp⁡(Wx)TdWx1Texp⁡(Wx))=tr(x(softmax(Wx)−y)TdW)

。对照导数与微分的联系，得到∂l∂W=(softmax(Wx)−y)xT∂l∂W=(softmax(Wx)−y)xT。

 

另解：定义a=Wxa=Wx，则l=−yTlogsoftmax(a)l=−yTlog⁡softmax(a)，先如上求出∂l∂a=softmax(a)−y∂l∂a=softmax(a)−y，再利用复合法则：dl=tr(∂l∂aTda)=tr(∂l∂aTdWx)=tr(x∂l∂aTdW)dl=tr(∂l∂aTda)=tr(∂l∂aTdWx)=tr(x∂l∂aTdW)，得到∂l∂W=∂l∂axT∂l∂W=∂l∂axT。

例4【方差的最大似然估计】：样本x1,…,xn∼N(μ,Σ)x1,…,xn∼N(μ,Σ)，其中ΣΣ是对称正定矩阵，求方差ΣΣ的最大似然估计。写成数学式是：l=log|Σ|+1n∑ni=1(xi−x¯)TΣ−1(xi−x¯)l=log⁡|Σ|+1n∑i=1n(xi−x¯)TΣ−1(xi−x¯)，求∂l∂Σ∂l∂Σ的零点。

解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是dlog|Σ|=|Σ|−1d|Σ|=tr(Σ−1dΣ)dlog⁡|Σ|=|Σ|−1d|Σ|=tr(Σ−1dΣ)，第二项是1n∑ni=1(xi−x¯)TdΣ−1(xi−x¯)=−1n∑ni=1(xi−x¯)TΣ−1dΣΣ−1(xi−x¯)1n∑i=1n(xi−x¯)TdΣ−1(xi−x¯)=−1n∑i=1n(xi−x¯)TΣ−1dΣΣ−1(xi−x¯)。再给第二项套上迹做交换：dl=tr((Σ−1−Σ−1SnΣ−1)dΣ)dl=tr((Σ−1−Σ−1SnΣ−1)dΣ)，其中Sn:=1n∑ni=1(xi−x¯)(xi−x¯)TSn:=1n∑i=1n(xi−x¯)(xi−x¯)T定义为样本方差。对照导数与微分的联系，有∂l∂Σ=(Σ−1−Σ−1SnΣ−1)T∂l∂Σ=(Σ−1−Σ−1SnΣ−1)T，其零点即ΣΣ的最大似然估计为Σ=SnΣ=Sn。

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

例5【二层神经网络】：

l=−yTlogsoftmax(W2σ(W1x))l=−yTlog⁡softmax(W2σ(W1x))

求

∂l∂W1和∂l∂W2∂l∂W1和∂l∂W2

其中yy是除一个元素为1外其它元素为0的向量，softmax(a)=exp(a)1Texp(a)softmax(a)=exp⁡(a)1Texp⁡(a)同例3，σ(⋅)σ(⋅)是逐元素sigmoidsigmoid函数σ(a)=11+exp(−a)σ(a)=11+exp⁡(−a)。

 

解：定义a1=W1x，h1=σ(a1)，a2=W2h1a1=W1x，h1=σ(a1)，a2=W2h1，则l=−yTlogsoftmax(a2)l=−yTlog⁡softmax(a2)。在例3中已求出∂l∂a2=softmax(a2)−y∂l∂a2=softmax(a2)−y。使用复合法则，注意此处h1,W2h1,W2都是变量：

dl=tr(∂l∂a2Tda2)=tr(∂l∂a2TdW2h1)+tr(∂l∂a2TW2dh1)dl=tr(∂l∂a2Tda2)=tr(∂l∂a2TdW2h1)+tr(∂l∂a2TW2dh1)

，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到∂l∂W2=∂l∂a2hT1∂l∂W2=∂l∂a2h1T，从第二项得到∂l∂h1=WT2∂l∂a2∂l∂h1=W2T∂l∂a2。接下来求∂l∂a1∂l∂a1，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：

tr(∂l∂h1Tdh1)=tr(∂l∂h1T(σ′(a1)⊙da1))=tr((∂l∂h1⊙σ′(a1))Tda1)tr(∂l∂h1Tdh1)=tr(∂l∂h1T(σ′(a1)⊙da1))=tr((∂l∂h1⊙σ′(a1))Tda1)

得到∂l∂a1=∂l∂h1⊙σ′(a1)∂l∂a1=∂l∂h1⊙σ′(a1)。为求∂l∂W1∂l∂W1再用一次复合法则：

tr(∂l∂a1Tda1)=tr(∂l∂a1TdW1x)=tr(x∂l∂a1TdW1)tr(∂l∂a1Tda1)=tr(∂l∂a1TdW1x)=tr(x∂l∂a1TdW1)

得到

∂l∂W1=∂l∂a1xT

来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量(p×1)对向量(m×1)的导数(m×p)，有；再定义矩阵的（按列优先）向量化(mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数(mn×pq)。导数与微分有联系。几点说明如下：

1. 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号表示上篇定义的m×n矩阵，则有。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
2. 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为(mn×mn)，是对称矩阵。对向量或矩阵求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵出发更方便。
3. ，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新，满足。
4. 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如(mp×nq)，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于中每个m×n子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。

 

然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：

1. 线性：。
2. 矩阵乘法：，其中表示Kronecker积，A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是(mp×nq)。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
3. 转置：，A是m×n矩阵，其中(mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix)。
4. 逐元素乘法：，其中(mn×mn)是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。

 

观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，即能得到导数。

再谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求呢？从导数与微分的联系入手，，可以推出链式法则。

 

和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：

1. 。
2. 。
3. 。可以对求导来证明，一方面，直接求导得到；另一方面，引入，有，用链式法则得到。
4. 。
5. ，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对做向量化来证明，一方面，；另一方面，。

 

接下来演示一些算例。

例1：，X是m×n矩阵，求。

解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：，对照导数与微分的联系得到。

特例：如果X退化为向量，  ，则根据向量的导数与微分的关系  ，得到  。

 

例2：，X是n×n矩阵，求和。

解：使用上篇中的技术可求得。为求，先求微分：，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧，对照导数与微分的联系，得到，注意它是对称矩阵。在是对称矩阵时，可简化为。

 

例3：，A是l×m，X是m×n，B是n×p矩阵，exp()为逐元素函数，求。

解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：，再用逐元素乘法的技巧：，再用矩阵乘法的技巧：，对照导数与微分的联系得到。

 

例4【一元logistic回归】：，求和。其中是取值0或1的标量，是向量。

解：使用上篇中的技术可求得，其中 为sigmoid函数。为求，先求微分：，其中为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到。

推广：样本，，求和。有两种方法，方法一：先对每个样本求导，然后相加；方法二：定义矩阵，向量，将写成矩阵形式，进而可以求得，。

 

例5【多元logistic回归】：，求和。

解：上篇例3中已求得。为求，先求微分：定义，，这里需要化简去掉逐元素乘法，第一项中，第二项中，故有，其中，代入有，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到。

 

最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是。

 

 

参考资料：

1. 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
2. Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
3. Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
4. HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).