84. Largest Rectangle in Histogram 柱状图中的最大矩形

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求柱状图（Histogram）中的最大矩形（Largest Rectangle），是一道ACM比赛题，又是一道Leetcode题，还是一道经常被问的面试题。如下图所示，可以将柱状图表示为一个数组［2，1，5，6，2，3］，每个柱子的宽度假设是一个单位。

求出的最大的矩形应该如下斜线所示，大小是10。

最容易想到的解法是brute force

class Solution:
    def largestRectangleArea(self, heights):
        """
        :type heights: List[int]
        :rtype: int
        """
        maxH = 0
        for i in range(len(heights)):
            left = i
            while left >= 0 and heights[left] >= heights[i]:
                left -= 1
            right = i
            while right <= len(heights) - 1 and heights[right] >= heights[i]:
                right += 1
            temp = (right - left - 1) * heights[i]
            if temp > maxH:
                maxH = temp
        return maxH

A = Solution()
res = A.largestRectangleArea([2,1,5,6,2,3])
print(res)

然而，最神奇的基于堆栈的O（n）解法基本思路（如下图）：从第一个柱子（编号1）开始，找出所有的后一个比前一个上手的柱子（从编号1到13），直到遇到一个高度下降的柱子（编号14）。而且把下降之前的编号（从1到13）推入到一个堆栈中。然后计算栈顶编号柱子的高度（所有A1A2线之上的柱子们，从编号3到13）比下降柱子（14）高的所有矩形的面积（因为14不可能和比它高的柱子组成更大的矩形），保留最大的。从栈顶开始，比如，13，12-13，...，8-13，7-13，...，直到3-13。但是14能参与比它矮的较远的编号2（2-14，就是B1B2）和编号1（1-14，就是C1C2）组成矩形。可以看出，堆栈中保留了到当前为止，所有将要参与可能矩形计算的所有柱子的编号。有了这些编号，我们可以计算所有可能的矩形的面积，从而求出最大的。注意了，堆栈中的编号的柱子高度时递增的！

用python实现的代码看上去很简洁。

class Solution:
    def largestRectangleArea(self, heights):
        stack = []
        index = 0
        heights.append(-1)
        maxH = 0
        while index < len(heights):
            if len(stack) == 0 or heights[stack[-1]] <= heights[index]:
                stack.append(index)
                index += 1
            else:
                area = 0
                top = stack.pop()
                if len(stack) == 0:
                    area = heights[top] * index
                else:
                    area = heights[top] * (index - stack[-1] - 1)
                if area > maxH:
                    maxH = area
        return maxH

A = Solution()
res = A.largestRectangleArea([2,1,5,6,2,3])
print(res)

假设用例柱状图数组是［2，1，5，6，2，3］。具体解释代码的运行过程，有助于理解。

初始时堆栈为空，将编号为0推入堆栈（是推入编号，不是高度，堆栈中保存的是到当前为止可以参与矩形的最左边柱子），这时的堆栈是［0］。移动到下一个索引编号1。

这时栈顶中编号的柱子（编号0）高于当前正在处理的编号1的柱子的高度，需要弹出堆栈，计算第一个矩形的面积，就是下图的蓝色矩形，这是当前的最大矩形。然后移动到下一个柱子。

这是堆栈为空，将当前柱子的编号1推入堆栈［1］。由于编号1，2，3的柱子的高度是递增的，所以持续推入堆栈［1，2，3］。直到遇到编号为4的柱子，高度下降。这是，要开始弹出堆栈和计算可能的所有当前矩形的面积了。

首先弹出栈顶元素，编号3，这是堆栈为［1，2］，然后计算下图绿色矩形面积，看是不是当前最大矩形。

这时栈顶编号2柱子比当前index＝4的柱子高，接着弹出栈顶元素2，此时堆栈为［1］，然后计算粉色矩形的面积，看是不是当前最大。

这时栈顶编号1的柱子的高度比当前index＝4的柱子矮，那么需要将编号4，5，推入堆栈，这时堆栈为［1，4，5］，直到遇见最后一个高度为－1的标志柱子。

这时需要计算以堆栈中［1，4，5］（注意了，堆栈中编号柱子的高度时递增的）所有编号为最左边的矩形的面积。弹出编号5，计算蓝绿色矩形面积；接着弹出4，计算黄色矩形面积；最后弹出编号1，计算深红色矩形面积。到此为止，完成了所有的计算，找出了最大矩形。

从以上代码流程可以看到，堆栈中的元素的编号始终保持高度是递增，当遇到高度下降的柱子时，依次弹出并计算以栈顶编号柱子为最左边的矩形的面积，直到堆栈中编号的柱子的高度小于当前正在处理的柱子。