动态规划解最长公共子序列(LCS)(附详细填表过程)
目录
相关概念
子序列形式化定义：
公共子序列定义：
最长公共子序列（以下简称LCS）：
方法
蛮力法求解最长公共子序列：
动态规划求解最长公共子序列：
分析规律：
做法：
伪代码：
下面演示下c数组的填表过程：（以求ABCB和BDCA的LCS长度为例）：
时间复杂度：
代码：
结果示例：
相关概念
子序列形式化定义：
给定一个序列X=
比如Z=
公共子序列定义：
如果Z既是X的子序列，又是Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列
最长公共子序列（以下简称LCS）：
2个序列的子序列中长度最长的那个
方法
蛮力法求解最长公共子序列：
需要遍历出所有的可能，时间复杂度是O(n³)，太慢了
动态规划求解最长公共子序列：
分析规律：
设X=
经过分析，我们可以知道：
1、如果xm = yn，则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS
2、如果xm != yn 且 zk != xm，则Z是Xm-1和Y的一个LCS
3、如果xm != yn 且 zk != yn，则Z是X和Yn-1的一个LCS
所以如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i，前j个字符的LCS的长度话，可以得到以下公式：
文字意思就是：
设
p1表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度
p2表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度
p表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度
p0表示X的前 i 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度
如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等，则p0 = p + 1
如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符不相等，则p0 = max(p1,p2)
做法：
因此，我们只需要从c[0][0]开始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度
但是，我们怎么得到LCS本身而非LCS的长度呢？
也是用一个二维数组b来表示：
在对应字符相等的时候，用↖标记
在p1 >= p2的时候，用↑标记
在p1 < p2的时候，用←标记
伪代码：
若想得到LCS，则再遍历一次b数组就好了，从最后一个位置开始往前遍历：
如果箭头是↖，则代表这个字符是LCS的一员，存下来后 i-- , j--
如果箭头是←，则代表这个字符不是LCS的一员，j--
如果箭头是↑ ，也代表这个字符不是LCS的一员，i--
如此直到i = 0或者j = 0时停止，最后存下来的字符就是所有的LCS字符
比如说求ABCBDAB和BDCABA的LCS:
灰色且带↖箭头的部分即为所有的LCS的字符
下面演示下c数组的填表过程：（以求ABCB和BDCA的LCS长度为例）：
以此类推
最后填出的表为：
右下角的2即为LCS的长度
时间复杂度：
由于只需要填一个m行n列的二维数组，其中m代表第一个字符串长度，n代表第二个字符串长度
所以时间复杂度为O（m*n）
代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
void LCS(string s1,string s2)
{
int m=s1.length()+1;
int n=s2.length()+1;
int **c;
int **b;
c=new int* [m];
b=new int* [m];
for(int i=0;i=c[i+1][j])
{
c[i+1][j+1]=c[i][j+1];
b[i+1][j+1]=2; //2表示箭头向 上
}
else
{
c[i+1][j+1]=c[i+1][j];
b[i+1][j+1]=3; //3表示箭头向 左
}
}
}
for(int i=0;i same; //存LCS字符
stack same1,same2; //存LCS字符在字符串1和字符串2中对应的下标，方便显示出来
for(int i = m-1,j = n-1;i >= 0 && j >= 0; )
{
if(b[i][j] == 1)
{
i--;
j--;
same.push(s1[i]);
same1.push(i);
same2.push(j);
}
else if(b[i][j] == 2)
i--;
else
j--;
}
cout<
结果示例：
