信号与系统（郑君里）——第三章（傅里叶变换）

3.1 引言

      此章开始由时域分析转入变换域分析，在变换域分析中，首先讨论傅里叶变换，傅里叶变换实在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展产生的，这方面的问题也成为傅里叶分析。

      本章从傅里叶级数正交函数展开问题讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。对于周期信号而言，在进行频谱分析时可以利用傅里叶变换级数，也可以使用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。

3.2 周期信号的傅里叶级数分析

（一）三角函数形式的傅里叶级数

直流分量：

余弦分量的幅度：

正弦分量的幅度：

注：并非任意周期信号都能进行傅里叶级数的展开，被展开的函数需要满足“狄利克雷条件”，但是我们遇到的周期信号基本上都会满足这个条件，因此一般我们不关注这个玩意儿。

化简可以写成另外的形式：

或者：

变量之间的关系：

通常把频率为f1的分量称为基波，频率为2f1、3f1。。。等分量分别称为二次谐波、三次谐波。。。等。

作出幅度谱，相位谱（都是离散谱，他们是周期信号频谱的主要特点）

（二）指数形式的傅里叶级数

由欧拉公式：

代入可得：

由于an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此可以化简为如下形式：

令F(0) = a0；

将an、bn代入并化简可得：

Fn和和各变量之间的关系

画出幅度谱和相位谱：

利用傅里叶级数研究周期信号的功率特性，在一个周期内进行积分，再利用三教函数及复指数函数的正交性、可得到周期信号的平均功率p与傅里叶系数的关系：

（三）函数的对称性与傅里叶系数的关系

在要求把已知信号展开为傅里叶级数的时候，如果是实函数而且他的波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项将不出现。

（1）偶函数

可得关系如下：

举例：

（2）奇函数

可以得到下面式子：

（四）傅里叶有限级数与最小均差

一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼进原函数，但是在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限级数，显然，选取有限级数时一种近似的方法，所选项数越多，有限项级数越逼进原函数，也就是说，其方均误差越小。

已知周期函数的f(t)的傅里叶级数为

若取傅里叶级数的前2N+1项来逼进周期函数f(t)，则有限项傅里叶级数为

这样用SN(t)逼近f(t)引起的误差函数为

均方误差等于

下面图示说明选取不同的项数时有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差

由图可以看出：

1、傅里叶级数所取项数n越多，相加后波形越毕竟原信号f(t)，当N取无穷大时，Sn必然等于f(t)

2、当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳边沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部。所以，f(t)波形变化越剧烈，所包含的高频分量越丰富，变化越缓慢，所包含的低频分量越丰富

3、当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真

出现吉布斯现象

3.3 典型周期信号的傅里叶级数

周期信号的频谱分析可利用傅里叶级数，也可借助傅里叶变换，此处均使用傅里叶级数展开的形式研究典型周期信号的频谱，3.9节利用傅里叶变换研究周期信号的频谱

（一）周期矩形脉冲信号

在一个周期里：

展开成三角形式傅里叶级数

直流分量：

余弦分量的幅度：

也可以写成：

其中sa为抽样函数：

由于f(t)为偶函数，可知：

bn = 0

可得，周期矩形信号的三角形式傅里叶级数

展开成指数形式的傅里叶级数

所以有：

有上面式子可以求出直流分量、基波与各次谐波分量的幅度，他们为：

图形为：

从以上分析可得：

1、周期矩形脉冲如同一般的周期信号，频谱是离散的，两谱线的间隔为w1，当脉冲重复周期越大，谱线越靠近

2、直流分量、基波及各谐波放量的大小正比于脉幅E和脉宽t,反比于周期T1.各谱线的幅度按包络线的规律变化

3、周期矩形信号包含无穷多条谱线，也就是说它可以分解成无穷多个频率分量，但主要能量集中在第一个零点以内，实际上，在允许一定失真的条件下们可以要求一个通信系统只把频率范围内的各个频谱分量传送过去，而舍弃的分量。这样，常常把这频段范围内称为矩形信号的频带宽度，记做矩形信号的频带宽度，记做B，或者

显然，频带宽度B之与脉宽t有关，而且成反比关系。

为了说明在不同的脉宽和不同的周期的情况下周期矩形信号频谱的变化规律，作出了以下曲线：

（二）方波信号

对称方波有两个特点

（1）他是正负交替的信号，其直流分量a0等于0

（2）脉宽恰等于周期的一半，即

图形：

方波的傅里叶级数：

频谱：

3.4 傅里叶变换

即将傅里叶分析的方法推广到非周期信号中去，导出傅里叶变换

当周期T无限增大时，则周期信号就转换成非周期性的单脉冲信号

周期信号的周期T无限增大时，谱线的间隔w变小，若周期T趋于无穷大，则谱线之间的间隔就是无穷小，因此离散频谱就变成了连续频谱，由于周期T无穷大，谱线的幅值就趋于0，也就是说频谱将化为乌有，失去了意义。

但是从物理概念上将，既然一个信号，必然含有一定的能量，无论信号怎么分解，其所包含的能量是不变的，所以不管周期增大到什么程度，频谱的分布依然存在。

或者从数学角度来看，在极限的情况下，无限多的无穷小量之和，仍可等于一个有限值，此有限值的大小取决于信号的能量。

基于上述原因，对非周期信号不能再采用之前的频谱的表示方法，必须引入一个新的量，称为频谱密度函数，下面由周期信号的傅里叶级数推导出傅里叶变换，并说明频谱密度函数的意义。

设有一周期信号f(t)及其复数频谱F(nw1)，将f(t)展成指数形式的傅里叶级数：

两边乘以T可得：

对于非周期信号：

因此离散频率nw1可以变成连续频率w

这种极限情况下

但是

不趋于0，而趋于有限值，且变成一个连续函数

记作：

或者

式子：

其中表示单位频带的频谱值，即频谱密度的概念。

所以F（w）称为原函数f(t)的频谱函数

即

同样，傅里叶级数

做如下变换

如此可得：

傅里叶变换如下：

                 

可以写作：

改为三角函数形式，即：

化简为：

可见，非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正弦、余弦分量，所不同的是，由于非周期信号的周期趋于无穷大，基波趋于无穷小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量，同时，由于周期趋于无限大，，因此对任一能量有限的信号（如单脉冲信号），在各频率点的分量幅度

趋于无穷小，所以频谱不能再用幅度表示，而改用密度函数来表示。

傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内满足绝对可积条件，即要求：

3.5 典型非周期信号的傅里叶变换

（一）单边指数信号

其中a为正实数

得：

画出幅度谱、相位谱，如下图：

（二）双边指数信号

因：

得：

波形以及幅度谱如下图所示：

（三）矩形脉冲信号

因：

得：

因为：

所以：

幅度谱和相位谱分别为：

幅度谱和相位谱如下：

由上可见，虽然矩形脉冲信号在时域集中于有限的范围内，然而它的频谱却以

的规律变化，分布在无限宽的频率范围上，但是其主要的信号能量处于，因而，通常认为这种信号占有频率范围（频带）B近似为1/t

（四）钟型脉冲信号

因：

积分后可得：

波形以及相位谱

（五）符号函数

不满足绝对可积的条件，但他却存在傅里叶变换，可以借助于符号函数与双边指数衰减函数相乘，先求得此乘积信号f(t)的频谱，然后取极限，从而得出符号函数f(t)的频谱

因为：

这样：

积分并化简，可得

因此有:

波形和频谱

3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

（一）冲激函数的傅里叶变换

（1）冲激函数的傅里叶变换

单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀分布的

（2）冲激函数的傅里叶逆变换

有定义可得

注：直流信号的傅里叶变换是冲激函数

也可以由矩形脉冲取无穷极限求得：

由冲激函数的定义可知：

（二）冲击偶的傅里叶变换

（三）阶跃函数的傅里叶变换

频谱图：

可见，单位阶跃函数的频谱在0点存在一个冲激函数，因单位阶跃函数含有直流分量，这是在预料之中的，此外，由于单位阶跃信号不是纯直流信号，它在 t = 0处有跳变，因此频谱中还出现其他频率分量。

3.7 傅里叶变换的基本性质

      傅里叶变换对建立了时间与频谱函数之间的对应关系，其中一个函数确定之后，另一个函数随之被唯一确定。在信号分析的理论研究与实际设计工作中，经常需要了解当信号在时域进行某种运算后再频域发生何种变化，或者反过来，从频域的运算推测时域的变动。

（一）对称性

证明：

因为

显然

将变量t与w互换，可得:

若是f(t)是偶函数，可得：

（二）线性

（三）奇偶虚实性

显然

（1）f(t)是实函数

显然：

可满足以下关系:

有上式的关系也可得，幅频为偶函数，相频为奇函数。

进一步f(t)为实偶函数

若f(t)为实奇函数

2.f(t)是虚函数

化简可得：

满足：

无论f(t)为实函数，或是复函数，都具有以下性质

（四）尺度变换特性

由上可见，信号在时域中压缩，等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展则等于在频域中压缩。对于a=-1的情况，他说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于频域中频谱也沿纵轴反褶。上述理论不难理解的，因为信号的波形压缩a倍，信号随时间变化加快a倍，所以它包含的频率分量增加a倍，也就是频谱展宽a倍，根据能量守恒原理，各频率分量的大小必然减小a倍。

（五）时移特性

、

证明：

（六）频移特性

证明：

频谱搬移技术在通信系统中得到广泛的应用，诸如调幅，同步调制，变频等都是在频谱搬移的基础上完成的

频谱搬移的原理是将信号乘以所谓的载频信号cos 和sin 

可以导出：

（七）微分特性

证明：

同理，可推出：

导出频域的微分特性

举一些简单的例子：

（八）积分特性

证明：

引入延时阶跃信号的傅里叶变换关系式

可得：

如果F(0) = 0，可得

3.8 卷积特性（卷积定理）

（一）时域卷积定理

若给定两个时间函数

已知：

证明:

已知：

因此：

因此：

（二）频域卷积定理

其中：

3.9 周期信号的傅里叶变换

以上的几节讨论了周期信号的傅里叶级数，以及非周期信号的傅里叶变换问题，在推导傅里叶变换时，令周期无穷大，这样，将周期信号变成非周期信号，将傅里叶级数演变成傅里叶变换，由周期信号的离散谱过渡成连续谱。现在研究周期信号变换的特点以及它与傅里叶级数之间的联系，目的是力图把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换这一工具得到更广泛的应用。

前面已经指出，虽然周期信号不满足绝对可积的条件，但是在允许冲激函数存在并认为它是有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制了，在这种意义上说周期信号的傅里叶变化时存在的。现在，借助频移定理导出指数、余弦、正弦的信号频谱。

（一）正弦、余弦信号的傅里叶变换

由频移特性可知：

正弦余弦信号的频谱图

（二）一般周期信号的傅里叶变换

两边取傅里叶变换

代入就可以得到周期信号f(t)的傅里叶变换为

其中：

式子表明：周期信号f(t)的傅里叶变换是由一些冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的

每个冲激的强度等于f(t)的傅里叶级数相应系数Fn的2pi倍。显然，周期信号的频谱是离散的，这一点与之前讨论的傅里叶级数的结论是一致的。然而，由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于傅里叶级数，这里不是有限值，而是冲激函数，它表明在无穷小的频带范围内取得无限大的频谱值。

下面讨论周期性脉冲序列的傅里叶级数与单脉冲的傅里叶变换的关系，

已知周期信号f(t)的傅里叶级数是：

其中，傅里叶系数

从周期性脉冲序列f(t)中截取一个周期，得到所谓单脉冲信号，它的傅里叶变换等于

显然：

周期脉冲序列的傅里叶级数的系数Fn等于单脉冲的傅里叶变换在nw1频率点的值除以T1。利用单脉冲的傅里叶变换式可以很方便地求出周期性脉冲序列的傅里叶系数。

例子：

其中：

这样，得到：

已知：

所以：

例：

周期矩形脉冲信号f(t)

可以求出周期矩形脉冲信号的傅里叶系数Fn

这样f(t)的傅里叶级数为

3.10 抽样信号的傅里叶变换

摆在面前的两个问题：

（1）抽样信号的傅里叶变换是什么样的？它和未经抽样的原连续信号f(t)的傅里叶变换有什么联系？

（2）连续信号被抽样后，它是否保留了原信号f(t)的全部信息，也即在什么条件下可以从抽样信号中无失真的复原。   

(一)时域抽样

连续信号f(t)

抽样脉冲序列

抽样后信号

若采用均匀抽样，抽样周期Ts，抽样频率一定

有下面式子：

根据频域卷积定理可知：

化简可得：

在重复过程中幅度被傅里叶系数加权，所以在重复过程中不会使形状发生变化

讨论两种典型的情况：

（1）矩形脉冲抽样

（2）冲激抽样

（二）频域抽样

所以可得：

3.11  抽样定理

（一）时域抽样定理

总结：这小节终于完结了，感觉这节的内容是整个信号处理的基础，那么如果说傅里叶变换是对信号进行分析，那么拉普拉斯就是对整个系统进行分析！！！