Educational Codeforces Round 88 (Rated for Div. 2)

https://codeforces.com/contest/1359

A - Berland Poker

随便平均分配一下。

B - New Theatre Square

比A还水。但是以后要注意，不要尝试节省不必要的空间，能不优化就不优化。

*C - Mixing Water

题意：给两种水，各无限杯，热水温度为 \(h\) ，冷水温度为 \(c\) ，你只能轮流倒热水和冷水并且必须先倒热水。要求倒尽可能少的杯数使得总温度接近 \(t\) ，总温度是所有温度的平均，也就是，假如倒了 \(x\) 杯热水和 \(y\) 杯冷水，则总温度为 \(\frac{xh+yc}{x+y}\) 。

题解：显然若 \(t\leq \frac{h+c}{2}\) ，则必须倒两杯，否则要么倒两杯，要么倒奇数杯（ \(k+1\) 杯热水和 \(k\) 杯冷水）。设一开始先倒入一杯热水，则温度为 \(h\) ，这之后若每次倒入一杯热水和一杯冷水，温度会变为 \(\frac{(k+1)h+kc}{2k+1}\) ，这个式子显然趋向于 \(\frac{h+c}{2}\) ，直觉上感觉到这个应该是单调递减的，不放心可以临项作差验证。既然是单调的那么就可以使用二分、倍增等算法去做，我选择的算法是倍增。我要求保持总的温度始终大于等于 \(t\) ，那么根据倍增的想法，若往前走 \(k\) 步后总温度仍然大于等于 \(t\) 则往前走 \(k\) 步，否则不走，无论走还是不走下一次都是走 \(k/2\) 步。但是这个算法在遇到某些数据的时候会出错。无所谓，我们找出一个大概的 \(k\) ，然后在其附近20个温度找一个最小的就可以了，最后别忘记和只倒两杯比较一下。

ll h, c, t;
 
void TestCase() {
    scanf("%lld%lld%lld", &h, &c, &t);
    ll ans = 0;
    for(ll step = 1ll << 20; step >= 1ll; step >>= 1ll) {
        ll k = ans + step;
        if((2ll * k + 1ll)*t <= (k + 1ll)*h + k * c)
            ans = k;
    }
    ll cur = 2ll;
    long double curdif = fabs(((long double)h + (long double)c) / 2.0 - (long double)t);
    for(ll i = max(0ll, ans - 10ll); i <= ans + 10ll; ++i) {
        long double tmp = (long double)((i + 1ll) * h + i * c) / (long double)((2ll * i + 1ll));
        if(fabs(tmp - t) < curdif) {
            curdif = fabs(tmp - t);
            cur = 2ll * i + 1ll;
        }
 
    }
    printf("%lld\n", cur);
    return;
}

用了long double，毕竟有绝对值的真的不知道咋比较谁更近。传闻double都有8位十进制精度，那么long double对付这题应该是游刃有余的。

*D - Yet Another Yet Another Task

题意：给一个 \(n\) 个数的数组，这些数字都很小（绝对值不超过30），Alice先选择一段非空连续区间 \([l,r]\) ，Bob选择其中最大的一个元素去掉，剩下的是Alice的得分。最大化Alice的得分。

题解：一开始想了很多算法，感觉就很不合理，比如计算某个元素为最大值时的结果，这样很容易退化。首先假如没有Bob，这道题就是经典的“最大子数组和”。其实这题目要从值域入手，假设我们取到的最大值为 \(x\) ，则大于 \(x\) 的都不能包含进来，直接设为负无穷，然后求一次最大子数组和，然后把最大子数组和减去 \(x\) 并尝试更新答案。这里有个小问题就是这次的最大子数组和未必真的包含 \(x\) ，但是容易知道这时一定不是最优答案，最优答案一定至少会是在这次的最大子数组和里面的最大元素作为 \(x\) 的时候更新。

提示：最大子数组和的解法：设 \(dp[i]\) 为必须以第 \(i\) 个位置结尾的最大得分。

int n;
int a[100005];
ll dp[100005];

void TestCase() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &a[i]);
    ll ans = 0;
    for(int x = 30; x > 0; --x) {
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            if(a[i] > x)
                a[i] = -INF;
            dp[i] = max(0ll, dp[i - 1]) + a[i];
            ans = max(ans, dp[i] - x);
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return;
}

*E - Modular Stability

题目：计数题，给一个 \(n,k\) ，计算满足下面条件的数组的数量：

1. 是 \([1,n]\) 中的 \(k\) 个不同的整数，且严格升序。
2. 对任意的 \(x\) ，这个数组无论按照什么顺序打乱之后，从左到右取模，到最后的结果一样。

题解：很明显，若选择 \(d\) 和 \(d\) 的倍数，那么取模得到的结果最后制约条件只有 \(d\) 。所以就是 \(\sum\limits_{d=1}^{n} C_{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor-1}^{k-1}\) 。否则，就一定满足，这 \(k\) 个数的gcd（记为 \(g\) ）没有被选中，这时一个结果不同的构造是：若是这种情况，则存在 \(i>1\) 的 \(a_i\) 不是 \(a_1\) 的倍数，则令 \(x=a_i\) 有 \(x \mod a_1 = a_i \mod a_1\) ，由于 \(a_i\) 不是 \(a_1\) 的倍数所以这个不为0，而第二种情况 \(x \mod a_i\) 为0，不等，但好像这就能说明不对了吗？暂时没有理解。

写了这个东西来验证猜想，通过了大数据。

ll qpow(ll x, ll n) {
    ll res = 1;
    while(n) {
        if(n & 1)
            res = res * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

ll C(ll n, ll m) {
    ll up = 1, down = 1;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
        down = down * i % MOD;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
        up = up * (n - i + 1) % MOD;
    return up * qpow(down, MOD - 2) % MOD;
}

void TestCase() {
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    ll sum = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        sum += C((n / i) - 1, k - 1);
    sum %= MOD;
    printf("%lld\n", sum);
    return;
}

然后这个东西感觉可以用线段树优化。因为每次是一段连续区间的求积。

struct SegmentTree {
#define ls (o<<1)
#define rs (o<<1|1)
    static const int MAXN = 500000;
    ll st[(MAXN << 2) + 5];
 
    void PushUp(int o) {
        st[o] = st[ls] * st[rs] % MOD;
    }
 
    void Build(int o, int l, int r) {
        if(l == r)
            st[o] = l;
        else {
            int m = l + r >> 1;
            Build(ls, l, m);
            Build(rs, m + 1, r);
            PushUp(o);
        }
    }
 
    ll Query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
        if(ql <= l && r <= qr) {
            return st[o];
        } else {
            int m = l + r >> 1;
            ll res = 1;
            if(ql <= m)
                res = Query(ls, l, m, ql, qr);
            if(qr >= m + 1)
                res = res * Query(rs, m + 1, r, ql, qr) % MOD;
            return res;
        }
    }
#undef ls
#undef rs
} st;
 
ll qpow(ll x, ll n) {
    ll res = 1;
    while(n) {
        if(n & 1)
            res = res * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
 
ll inv_down;
 
void calc_inv_down(int m) {
    ll down = 1ll;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
        down = down * i % MOD;
    inv_down = qpow(down, MOD - 2);
    return;
}
 
int n, k;
 
ll C(int _n, int _m) {
    if(_n < _m)
        return 0;
    ll up = st.Query(1, 1, n, _n - _m + 1, _n);
    return up * inv_down % MOD;
}
 
void TestCase() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    if(k == 1) {
        printf("%d\n", n);
        return;
    }
    st.Build(1, 1, n);
    ll sum = 0;
    calc_inv_down(k - 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        sum += C((n / i) - 1, k - 1);
    sum %= MOD;
    printf("%lld\n", sum);
    return;
}

然后看一下别人的题解，好像不需要这么复杂，直接粘贴组合数的模板就可以了。要记得（模为质数时的）组合数 \(C_n^k\) 在 \(O(n)\) 预处理之后每次回答就是 \(O(1)\) 的。只有当模不为质数，或者模数不够大时，乘法逆元才有可能不存在，这时才需要用维护幺半群的线段树，其他时候直接使用维护交换群的数据结构就可以。

const int MAXN = 1e6;
 
ll inv[MAXN + 5], fac[MAXN + 5], invfac[MAXN + 5];
 
void init_C(int n) {
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        inv[i] = inv[MOD % i] * (MOD - MOD / i) % MOD;
    fac[0] = 1, invfac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
        invfac[i] = invfac[i - 1] * inv[i] % MOD;
    }
}
 
ll C(ll n, ll m) {
    if(n < m)
        return 0;
    return fac[n] * invfac[n - m] % MOD * invfac[m] % MOD;
}
 
int n, k;
 
void TestCase() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    init_C(n);
    ll sum = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        sum += C((n / i) - 1, k - 1);
    sum %= MOD;
    printf("%lld\n", sum);
    return;
}