数学基础 Matlab（1）——导数/微分

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导数（Derivative）是 微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的 自变量x在一点x 0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的 极限a如果存在，a即为在x 0处的导数，记作f'(x 0)或df(x 0)/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的 切线 斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在 运动学中，物体的 位移对于时间的导数就是物体的 瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点 可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定 连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的 导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为 求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即 不定积分。 微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

定义

设 函数y=f(x)在点x 0的某个 邻域内有定义，当自变量x在x 0处有增量Δx，(x 0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得 增量Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时 极限存在，则称函数y=f(x)在点x 0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x 0处的导数记作 ①

   

； ②  

 

； ③

   

， 即

需要指出的是：

两者在数学上是等价的。

导函数

如果函数y=f(x)在开区间内每一点都可导，就称函数f(x)在区间内可导。这时函数y=f(x)对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f(x)的 导函数，记作y'、f'(x)、dy/dx或df(x)/dx，简称导数。

导数是微积分的一个重要的支柱。 牛顿及 莱布尼茨对此做出了贡献。

几何意义

函数y=f(x)在x 0点的导数f'(x 0)的几何意义：表示函数曲线在点P 0(x 0,f(x 0))处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

公式

简单函数

这里将列举14个 基本初等函数的导数。

函数	原函数	导函数
常函数 （即 常数）	（ C为常数）
指数函数
幂函数
对数函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
双曲线函数

 

……………….①

 

………………②

 

………………③

y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'。

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（称为链式法则）。

表达式： 

其他形式：

 

变限积分的求导法则：