数学建模之层次分析法（AHP）

层次分析法（Analytic Hierarchy Process）

AHP是对一些较为复杂的，较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难以完全定量分析的问题。由美国运筹学家T.L.Saaty教授于上世纪70年代初期提出。

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目录

层次分析法（Analytic Hierarchy Process）

一、建模步骤

二、层次结构模型

三、层次结构分析法的两个权重

3.1 首先解决第一个问题：每个准则（因素）权重具体应该分配多少？

3.2 接下来解决第二个问题：每一个候选方案在每一个因素下又应该获得多少权重

总结

具体举例与代码

参考链接

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一、建模步骤

运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： 

• 建立递阶层次结构模型； 
• 构造出各层次中的所有判断矩阵； 
• 层次单排序及一致性检验； 
• 层次总排序及一致性检验。 

二、层次结构模型

层次分析法是用来根据多种准则，或是说因素从候选方案中选出最优的一种数学方法

 

问题结构如图。首先做一个归一处理，给目标层（choose a leader)分配值为1或0，然后将这一值作为权重，分配给不同因素(Age,Experience,Education,Charisma)，对应因素的权重大小代表该因素在整个选择过程中的重要性程度。

之后对于候选方案，每一个标准再将其权重值分配给所有的候选方案，每一方案获得权重值，来源于不同因素分得的权重值的和。最终获得的各个方案的的权重值的和依然为1。

  

例如选工作时，待遇所占的比重为0.8，有工作1,2,3候选， 如果工作1的待遇最高，工作2的待遇次之，工作3最差，则可将0.8的值按0.4,0.3,0.1分给工作1,2,3。

三、层次结构分析法的两个权重

从上文看，这不就是一个简单的权重打分的过程吗？为什么还要层次分析呢。这里就有两个关键问题：

• 每个准则Criterion的权重具体应该分配多少？
• 每一个候选方案Alternative在每一个因素下又应该获得多少权重？

这里便进入层次分析法的第二个步骤，也是层次分析法的一个精华:  构造比较矩阵（判断矩阵）Comparison Matrix

3.1 第一个问题：每个准则（因素）权重具体应该分配多少？

如果直接要给各个因素分配权重比较困难，但在不同因素之间两两比较其重要程度是相对容易的

将不同因素两两作比获得的值aij 填入到矩阵的 i 行 j 列的位置，则构造了所谓的比较矩阵，显然比较矩阵对角线上都是1， 因为是自己和自己比。这个矩阵容易获得，我们如何从这一矩阵获得对应的权重分配呢

这里需要引入概念，正互反矩阵和一致性矩阵

正互反矩阵定义：

我们目前构造出的矩阵很明显就是正互反矩阵。

一致性矩阵定义：

这里我们构造出的矩阵就不一定满足一致性，比如我们做因素1：因素2= 4：1  因素2：因素3=2:1    因素1：因素3=6:1（如果满足一致性就应该是8:1），我们就是因为难以确定各因素比例分配才做两两比较的，如果认为判断中就能保证一致性，就直接给出权重分配了。

一致性矩阵有一个性质可以算出不同因素的比例

重点：这里的w就是我们想要知道的权重，所以通过求比较矩阵的最大特征值所对应的特征向量，就可以获得不同因素的权重，归一化一下（每个权重除以权重和作为自己的值，最终总和为1）就更便于使用了。

注：我们给出的比较矩阵一般是不满足一致性的，但是我们还是把它当做一致矩阵来处理，也可以获得一组权重，但是这组权重能不能被接受，需要进一步考量。（即下文的一致性检验）例如在判断因素1,2,3重要性时，可以存在一些差异，但是不能太大，1比2重要，2比3 重要，1和3比时却成了3比1重要，这显然不能被接受。

一致性检验

当写出来判断矩阵之后还会存在一个问题，那就是按理来说如果i对j的重要程度是a，j对k的重要程度是b，那么理所应当i对k的重要程度应该a*b，有点符合“传递性”的感觉。但事实上不是这样的。所以需要进行一致性检验，如果在一定的合理范围之内，矩阵不需要修改，如果不在，则需要修改矩阵。

 一致性的检验是通过计算一致性比例CR 来进行的

当  CR<0.10 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。 

CI的值由判断矩阵计算获得，RI的值查表获得，具体的计算公式这里就略去，重点是理解为什么要做一致性检验。

3.2 第二个问题：每个候选方案在每个因素下又应该获得多少权重

这里则需要将不同候选方案，在不同因素下分别比较，具体的比较方法，还是使用比较矩阵，只不过之前准则层的比较矩阵比较的对象是因素，这里比较的是某一因素下，候选方案的优劣。

注：n个因素则需构造出来n个比较矩阵

例如在工作环境的因素下，工作1与工作2相比为 ：4:2，工作2与工作3=2:1 ，工作1：工作3=6：1，这样构造一个矩阵，再用之前的一致性矩阵的方法就可以求出一个权重，然后相对应因素（这里是工作环境）所拥有的权值就可以按这个权重比例分配给不同候选物或人。

至此两个问题就都得到了解决。最终将每个候选物、人从不同因素获得的权值求和，就可以得到不同候选对于目标层的权值大小，继而可以根据值的大小，来选出优劣。

总结

通过对层次分析法的基本了解，不难发现层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。 

明显的缺点是，整个分析过程似乎都是依赖于人的主观判断思维，一来不够客观，二来两两比较全部人为完成，还是非常耗费精力的，尤其是当候选方案比较多的时候。

 

具体举例与代码

有一个毕业生为挑选合适的工作。经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生，该毕业生考虑的因素有6个，研究课题、发展前途、待遇、同事情况、地理位置和单位名气。 
那么这六个因素就是准则层，三个单位就是方案层，最后要求的就是应该去哪个单位。 
1）准则层判断矩阵（主观性） 

2）方案层判断矩阵（主观性） 

分别针对每一个B，判断C1、C2、C3之间的相对大小

计算的 Matlab 程序如下： 

clc,clear 
fid=fopen(‘txt3.txt’,’r’); 
n1=6;n2=3; 
a=[]; 
for i=1:n1 
tmp=str2num(fgetl(fid)); 
a=[a;tmp]; %读准则层判断矩阵 
end 
for i=1:n1 
str1=char([‘b’,int2str(i),’=[];’]); 
str2=char([‘b’,int2str(i),’=[b’,int2str(i),’;tmp];’]); 
eval(str1); 
for j=1:n2 
tmp=str2num(fgetl(fid)); 
eval(str2); %读方案层的判断矩阵 
end 

end
ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指标 
[x,y]=eig(a); 
lamda=max(diag(y)); 
num=find(diag(y)==lamda); 
w0=x(:,num)/sum(x(:,num)); 
cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1) 
for i=1:n1 
[x,y]=eig(eval(char([‘b’,int2str(i)]))); 
lamda=max(diag(y)); 
num=find(diag(y)==lamda); 
w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num)); 
cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2); 
end 
cr1, ts=w1*w0, cr=cr1*w0 

纯文本文件txt3.txt中的数据格式如下： 
1 1 1 4 1 1/2 
1 1 2 4 1 1/2 
1 1/2 1 5 3 1/2 
1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 
1 1 1/3 3 1 1 
2 2 2 3 3 1 
1 1/4 1/2 
4 1 3 
2 1/3 1 
1 1/4 1/5 
4 1 1/2 
5 2 1 
1 3 1/3 
1/3 1 1/7 
3 7 1 
1 1/3 5 
3 1 7 
1/5 1/7 1 
1 1 7 
1 1 7 
1/7 1/7 1 
1 7 9 
1/7 1 1 
1/9 1 1

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R语言中AHP的应用参考

https://cran.r-project.org/web/packages/ahpsurvey/vignettes/my-vignette.html

 

参考与资源

[1]《数学建模算法与应用》

[2] https://blog.csdn.net/lengxiao1993/article/details/19575261

[3]https://blog.csdn.net/fz_851474/article/details/52281849