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前置知识
你首先要学会的：
- \(\text{RMQ}(ST \text{表})\)
- 分块
- 线段树
- 二进制，位运算
前记
我们把 \(\text{RMQ}\) 和分块 所解决的问题搬出来：
- 在长度为 \(n\) 的数组上，\(T\) 组询问 \([l,r]\) 区间的 和（差，异或等有结合律的算术）。
显然我们已经有了一个 \(\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(1)\) 的算法。
思考
现在做一个 简单 的加强，\(n,T \leq 2 \times 10^7\).
你会发现预处理的时间不够了。
很显然，我们考虑朴素的分块怎么做。
将数组分为若干个长度为 \(b\) 的块，对于每个块，处理块内答案，前缀块的答案，后缀块的答案。
当 \(b = \sqrt{n}\) 时 取到最平均的答案，可以 \(\mathcal{O}(n) - \mathcal{O}(\sqrt{n})\)，但显然不行。
那考虑 \(\text{RMQ}\) 呢？用 \(f_{i,j}\) 表示 \([i , i + 2^j-1]\) 区间的答案，倍增处理即可。显然是 \(\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(1)\).
这两个算法都无法通过 \(2 \times 10^7\) 如此庞大的数据。我们思考一个新的算法。
基于分块
首先考虑分块基础上的优化。同样 处理块内答案，前缀块的答案，后缀块的答案，这里是 \(\mathcal{O}(n)\) 的，考虑如何优化询问。
询问分两种情况：
- 横跨多个块
- 包含在一个块内
显然，第一种情况我们可以把 横跨的整块 进行前缀计算，然后转为 对两侧不完整快的计算，即剩余两个部分各自包含在一个完整的块内。这样做是 \(\mathcal{O}(1)\) 的，但如何计算第二种方案？
考虑如何处理一个块内的方案，如果按照 分块的暴力思想，那么 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 就奠定了。显然这不是我们想要的。
现在的问题转为，在长度为 \(\sqrt{n}\) 的数组上，\(T\) 组询问 \([l,r]\) 区间的 和（差，异或等有结合律的算术）。
咦？这不是分块吗？
人见人爱的 分块套分块 又重出江湖了？
我们可以设法将 \(\sqrt{n}\) 长的块进行再分块，分为 \(\sqrt{\sqrt{n}}\) 长的块，然后再不断往下分 \(\cdots \cdots\) 直到块长为 \(1\) 为止。
首先，似乎这样的时间复杂度很稳，\(\mathcal{O}(n + \sqrt{n} + \sqrt{\sqrt{n}} + \cdots \cdots) = \mathcal{O}(n)\)，但空间上无法承受，需要处理的区间太多。
既然分块失败了，我们考虑在分块的基础上，思考新的算法。
\(\texttt{Sqrt tree}\) 的建树
俗语云：“智商不够，数据结构来凑”。
现在我们想的一种 基于递归，搜索 的算法，能否有数据结构与其接轨呢？
显然，我们可以用 树 来实现。
对长度为 \(k\) 的区间，将其分裂为 \(\sqrt{k}\) 个长 \(\sqrt{k}\) 的子区间，即有 \(\sqrt{k}\) 个儿子。叶子节点的长度为 \(1\) 或 \(2\).
第一层的节点维护 \([1,n]\) 的答案。
假想一下：如果这棵树只建立 \(2\) 层，可以认为和 朴素分块 没有任何区别。
显然我们建完这棵树后，应当考虑复杂度怎样。
整棵树的高度是 \(\mathcal{O(\log \log n)}\) 的，每层区间总长为 \(n\)，建树的时间复杂度为 \(\mathcal{O(n \log \log n)}\)，可以接受。而空间上也可以接受。
那么问题来了：在这样类似于 线段树 的数据结构上，如何询问呢？
\(\text{Sqrt tree}\) 的询问
在树高为 \(\mathcal{O}(\log \log n)\) 的树上，按照线段树的思想，显然单次查询是 \(\mathcal{O}(\log \log n)\) 的。这样并不优。
如何优化？
\(\text{Sqrt tree}\) 的询问优化
其实瓶颈在于如何快速确定树高。树高很好确定，直接二分就行。那么这样就变成了 \(\mathcal{O}(\log \log \log n)\).
对于 \(n = 2 \times 10^7\)，这个数已经变成了近似 \(2\)，几乎 可以视为常数。
我们考虑如何把这个数彻底地降为 \(\mathcal{O}(1)\)，以免夜长梦多！
\(\text{Sqrt tree}\) 的询问再优化
精髓来了。
上面我们已经做到了 \(\mathcal{O}(n \log \log n) - \mathcal{O}(\log \log \log n)\) 的算法，我们试图做到一个 \(\mathcal{O}(n \log \log n) - \mathcal{O}(1)\).
思考一下：\(\text{RMQ}\) 的预处理，如果你在询问的时候暴力倍增，不也是 \(\mathcal{O}(\log n)\) 吗？最后我们用 二进制 的特效完成了从 \(\mathcal{O}(\log n)\) 到 \(\mathcal{O}(1)\) 的跳跃，让 \(\text{RMQ}\) 彻彻底底的战胜了 线段树（只是在两者都能解决的领域）。
现在我们仍要运用这个黑科技，二进制的运算从来不庸俗。
所以，按照 \(\text{OI Wiki}\) 的说法，
非常形象。如果你觉得这些太枯燥，我们来简单解释一下。
首先假设所有区间的长度都可以表示为 \(2^t (t为自然数)\) 的形式，对于不满足的区间我们可以在后面添上一些 不影响运算 的数值，在 \(+\) 中可以是 \(0\). 由于区间的增大最多 \(\times 2\) 不到，因此不影响复杂度。
这样我们可以来用二进制了。首先我们把端点写成二进制的形式，由于每个块长度一样，端点呈 等差 形式，因此 每个块的两个端点的二进制有且仅有后 \(k\) 位不同。所以显然的，我们预处理的时候可以求出 \(k\)，并可以 \(\mathcal{O}(1)\) 计算 当前区间两个端点的二进制值。
如何判断当前区间是否涵盖在一个块里？显然这个问题就变成，当前取件两个端点的二进制是否只有后 \(k\) 位不同。这个问题不难解决。我们只需要将区间两端进行 异或操作，判断是否 \(\leq 2^k-1\) 即可。
那么如何快速找到树高呢（即对应再第几层）？对当前 \([l,r]\) 计算最高位上的 \(1\) 的位置，并处理 \(i \in [1,n]\) 中 \(i\) 的最高位上 \(1\) 的位置。这样可以 \(\mathcal{O}(1)\) 计算树高，\(\mathcal{O}(1)\) 查询啦！
这就是 \(\text{Sqrt tree}\)，可以实现 \(\mathcal{O}(n \log \log n) - \mathcal{O}(1)\).
可能你会说，\(\mathcal{O}(n \log \log n)\) 对于 \(n = 2 \times 10^7\) 会跑到 \(10^8\) 左右，不稳。
\(\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(1)\) 就稳了？
\(\mathcal{O(n) - \mathcal{O}(\sqrt{n})}\) 就稳了？
显然 \(\text{Sqrt tree}\) 已经是此类问题最优的算法，没有之一！
\(\text{Sqrt tree}\) 的修改
现在出题人意外地发现你用 不带修改 的简单 \(\text{Sqrt tree}\) 模板切题了！
出题人非常生气，毫不客气地加上了这样一句话：
- 每次操作分询问和修改两种。
那么如何修改呢？
直接在 \(\text{Sqrt tree}\) 上暴力？
\(\text{Sqrt tree}\) 的单点修改
首先考虑单点如何修改 \(a_x = val\)。
暴力的话，我们需要更改树上含 \(x\) 的区间，显然我们需要重新计算的区间为：
但是你觉得这样很满足吗？那出题人给你个修改都要 \(\mathcal{O}(n)\)，岂不是要让 \(\mathcal{O}(nT)\) 的暴力通过了？
\(\text{Sqrt tree}\) 的单点修改优化
类似于线段树吧，可以打 \(\text{lazy\_tag}\)，不必完全暴力的。
这里引进 \(\text{Index}\) 的概念，记录每个区间被修改的块编号。
那么 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 很稳。但是这样询问也增加了复杂度。
\(\text{Sqrt tree}\) 的区间修改
考虑如何将 \([l,r]\) 的所有数都改成 \(x\).
我们已经有了以下的算法（修改 - 查询）：
\(\mathcal{O}(\sqrt{n} \log \log n) - \mathcal{O}(1)\)
\(\mathcal{O}(\sqrt{n}) - \mathcal{O}(\log \log n)\)
下面会一一解释这两种实现。
区间修改的第一种实现
第一种实现中，把第一层 被 \([l,r]\) 完全覆盖的区间 打上标记。
两侧的块修改一部分，没有办法，只能暴力，\(\mathcal{O}(\sqrt{n} \log \log n)\).
查询的话，直接去 \(\text{Index}\) 里查询，\(\mathcal{O}(1)\).
区间修改的第二种实现
每个节点都会被打上标记，那么每次询问要把祖先的标记更新一遍，就会形成 \(\mathcal{O}(\sqrt{n}) - \mathcal{O}(\log \log n)\) 的复杂度。
总结
\(\text{Sqrt tree}\) 在不带修改的情况下效率比 线段树 要高很多，但是实现的功能不如 线段树 多（比方说线段树可以维护 \(\text{LIS}\)）；
带修改时，\(\text{RMQ}\) 无疑最优，其次是 线段树，然后是分块和 \(\text{Sqrt tree}\).
\(\text{OI}\) 中不常考，但希望大家掌握。
参考资料
\(\text{Sqrt Tree - OI Wiki}\)
课后习题
洛谷 \(\text{P3793}\) 由乃救爷爷