数据结构与算法之------最小生成树
最小生成树
1.定义
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。[1] 最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。 [2]
2.应用
生成树和最小生成树有许多重要的应用。
例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。 [1]
3.Prim算法
给一篇不错的参考：https://www.cnblogs.com/nannanITeye/p/3446424.html
算法描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边
b.将v加入集合Vnew中，将
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
时间复杂度
| 最小边、权的数据结构 | 时间复杂度（总计） |
|---|---|
| 邻接矩阵、搜索 | O(V^2) |
| 二叉堆（后文伪代码中使用的数据结构）、邻接表 | O((V + E) log(V)) = O(E log(V)) |
| 斐波那契堆、邻接表 | O(E + V log(V)) |
通过邻接矩阵图表示的简易实现中，找到所有最小权边共需O（V）的运行时间。使用简单的二叉堆与邻接表来表示的话，普里姆算法的运行时间则可缩减为O(ElogV)，其中E为连通图的边数，V为顶点数。如果使用较为复杂的斐波那契堆，则可将运行时间进一步缩短为O(E+VlogV)，这在连通图足够密集时（当E满足Ω（VlogV）条件时），可较显著地提高运行速度。
算法实现
/* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */
Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] )
{ /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
Vertex MinV, V;
WeightType MinDist = INFINITY;
for (V=0; VNv; V++) {
if ( dist[V]!=0 && dist[V]Nv; V++) {
/* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */
dist[V] = Graph->G[0][V];
parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */
}
TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */
VCount = 0; /* 初始化收录的顶点数 */
/* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
MST = CreateGraph(Graph->Nv);
E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */
/* 将初始点0收录进MST */
dist[0] = 0;
VCount ++;
parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */
while (1) {
V = FindMinDist( Graph, dist );
/* V = 未被收录顶点中dist最小者 */
if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */
break; /* 算法结束 */
/* 将V及相应的边收录进MST */
E->V1 = parent[V];
E->V2 = V;
E->Weight = dist[V];
InsertEdge( MST, E );
TotalWeight += dist[V];
dist[V] = 0;
VCount++;
for( W=0; WNv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]G[V][W] < dist[W] ) {
/* 若收录V使得dist[W]变小 */
dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
parent[W] = V; /* 更新树 */
}
}
} /* while结束*/
if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */
TotalWeight = ERROR;
return TotalWeight; /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */
}
4.Kruskal算法
给一个很好的参考链接：http://www.cnblogs.com/yoke/p/6697013.html
基本思想
先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。 [1]
步骤
-
新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边；
-
将原图中所有的边按权值从小到大排序；
-
从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中；
-
重复3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中。
算法实现
/* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 */
/*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/
typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */
typedef Vertex SetName; /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */
typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */
void InitializeVSet( SetType S, int N )
{ /* 初始化并查集 */
ElementType X;
for ( X=0; XESet[Child+1].Weight) )
Child++; /* Child指向左右子结点的较小者 */
if( X.Weight <= ESet[Child].Weight ) break; /* 找到了合适位置 */
else /* 下滤X */
ESet[Parent] = ESet[Child];
}
ESet[Parent] = X;
}
void InitializeESet( LGraph Graph, Edge ESet )
{ /* 将图的边存入数组ESet，并且初始化为最小堆 */
Vertex V;
PtrToAdjVNode W;
int ECount;
/* 将图的边存入数组ESet */
ECount = 0;
for ( V=0; VNv; V++ )
for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )
if ( V < W->AdjV ) { /* 避免重复录入无向图的边，只收V1AdjV;
ESet[ECount++].Weight = W->Weight;
}
/* 初始化为最小堆 */
for ( ECount=Graph->Ne/2; ECount>=0; ECount-- )
PercDown( ESet, ECount, Graph->Ne );
}
int GetEdge( Edge ESet, int CurrentSize )
{ /* 给定当前堆的大小CurrentSize，将当前最小边位置弹出并调整堆 */
/* 将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换 */
Swap( &ESet[0], &ESet[CurrentSize-1]);
/* 将剩下的边继续调整成最小堆 */
PercDown( ESet, 0, CurrentSize-1 );
return CurrentSize-1; /* 返回最小边所在位置 */
}
/*-------------------- 最小堆定义结束 --------------------*/
int Kruskal( LGraph Graph, LGraph MST )
{ /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */
WeightType TotalWeight;
int ECount, NextEdge;
SetType VSet; /* 顶点数组 */
Edge ESet; /* 边数组 */
InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */
ESet = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode)*Graph->Ne );
InitializeESet( Graph, ESet ); /* 初始化边的最小堆 */
/* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
MST = CreateGraph(Graph->Nv);
TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */
ECount = 0; /* 初始化收录的边数 */
NextEdge = Graph->Ne; /* 原始边集的规模 */
while ( ECount < Graph->Nv-1 ) { /* 当收集的边不足以构成树时 */
NextEdge = GetEdge( ESet, NextEdge ); /* 从边集中得到最小边的位置 */
if (NextEdge < 0) /* 边集已空 */
break;
/* 如果该边的加入不构成回路，即两端结点不属于同一连通集 */
if ( CheckCycle( VSet, ESet[NextEdge].V1, ESet[NextEdge].V2 )==true ) {
/* 将该边插入MST */
InsertEdge( MST, ESet+NextEdge );
TotalWeight += ESet[NextEdge].Weight; /* 累计权重 */
ECount++; /* 生成树中边数加1 */
}
}
if ( ECount < Graph->Nv-1 )
TotalWeight = -1; /* 设置错误标记，表示生成树不存在 */
return TotalWeight;
} 5.补充
关于最小生成树的唯一性结论（证明比较复杂，自己研究吧。。。）
如果图中所有边的权值都不同，只有一种最小生成树
但是如果有2条或以上的边有相同权值，这个最小生成树就不一定唯一了
不过即使不唯一，这个最小的权值和一定唯一的