数据结构与算法随笔之------最长回文子串四种方法求解(暴力枚举+动态规划+中心扩展+manacher算法(马拉车))

所谓回文串,就是正着读和倒着读结果都一样的回文字符串。
比如:
a, aba, abccba都是回文串,
ab, abb, abca都不是回文串。

一、暴力法

方法一:直接暴力枚举

求每一个子串时间复杂度O(N^2), 判断子串是不是回文O(N),两者是相乘关系,所以时间复杂度为O(N^3)。

#include 
using namespace std;

string longestPalindrome(string &s)
{
    int len = s.size();                  //字符串长度
    int maxlen = 1;                      //最长回文字符串长度
    int start = 0;                       //最长回文字符串起始地址
    for(int i = 0; i < len; i++)         //起始地址
    {
        for(int j = i + 1; j < len; j++) //结束地址
        {
            int tmp1 = i, tmp2 = j;
            while(tmp1 < tmp2 && s.at(tmp1) == s.at(tmp2))//判断是不是回文
            {
                tmp1++;
                tmp2--;
            }

            if(tmp1 >= tmp2 && j - i + 1 > maxlen)
            {
                maxlen = j - i + 1;
                start = i;
            }
        }
    }

    return s.substr(start, maxlen);
}

int main()
{
    string s;
    cout << "Input source string: ";
    cin >> s;
    cout << "The longest palindrome: " << longestPalindrome(s);
    return 0;
}

此外补充一种非常好的方法:
分析:有两种可能,一种是回文字符串的长度为奇数,一种是偶数的情况。i为字符串当前字符的下标。
当回文字串为奇数的时候,j表示i-j与i+j构成的回文字串长度;当回文字串长度为偶数的时候,j表示i+1左边j个字符一直到i右边j个字符的回文字串长度~~~

用maxvalue保存遍历结果得到的最大值并且输出~~

这种算法思路非常清晰且易懂

#include 
using namespace std;

int main()
{
    string ss;
    getline(cin,ss);
    int temp,maxvalue=0;
    int len = ss.size()
    for(int i = 0; i < len; i++)
    {
        temp = 1;
        ///回文串为奇数
        for(int j = 1; j < len; j++)
        {
            if(i - j < 0 || i + j >= len || s[i - j] != s[i + j])
                break;
            temp += 2;
        }
        ///回文串为偶数
        maxvalue = temp > maxvalue ? temp : maxvalue;
        temp = 0;
        for(int j = 1; j < len; j++)
        {
            if(i - j + 1 < 0 || i + j >= len || s[i - j + 1] != s[i + j])
                break;
            temp += 2;
        }
        maxvalue = temp > maxvalue ? temp : maxvalue;
    }
    cout << maxvalue;
}

方法二:动态规划


下面介绍动态规划的方法,使用动态规划可以达到最优的 O(n2) 复杂度。

  令 dp[i][j] 表示 S[i] 至 S[j] 所表示的子串是否是回文子串,是则为 1,不是则为 0。这样根据 S[i] 是否等于 S[j] ,可以把转移情况分为两类:

 若 S[i] == S[j],那么只要 S[i+1] 至 S[j-1] 是回文子串,S[i] 至 S[j] 就是回文子串;如果S[i+1] 至 S[j-1] 不是回文子串,则 S[i] 至 S[j] 也不是回文子串。
 若 S[i] != S[j],那么 S[i] 至 S[j] 一定不是回文子串。    
  由此可以写出状态转移方程:

          dp[i][j]={dp[i+1][j−1],S[i]==S[j]0,S[i]!=S[j]dp[i][j]={dp[i+1][j−1],S[i]==S[j]0,S[i]!=S[j]

  边界:dp[i][i]=1,dp[i][i+1] = (S[i] == S[i+1]) ? 1 : 0。

  根据递推写法从边界出发的原理,注意到边界表示的是长度为 1 和 2 的子串,且每次转移时都对子串的长度减了 1,因此不妨考虑按子串的长度和子串的初始位置进行枚举,即第一遍将长度为 3 的子串的 dp 值全部求出,第二遍通过第一遍结果计算出长度为 4 的子串的 dp 值 ……

 算法时间复杂度为O(N ^ 2)。

/*
    最长回文子串 
*/
 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
 
#define maxn 1010
char S[maxn];
int dp[maxn][maxn];                 
 
int main() {
    gets(S);                        // 输入整行字符 
    int len=strlen(S), ans=1;        // ans 记录最长回文子串长度 
    int i, j, L;        
    // 边界 
    for(i=0; i

 

方法三:中心扩展法

中心扩展就是把给定的字符串的每一个字母当做中心,向两边扩展,这样来找最长的子回文串。算法复杂度为O(N^2)。
需要考虑两种情况:
长度为奇数的回文串,比如a, aba, abcba
长度为偶数的回文串,比如aa, abba

本法借鉴一位大佬的博客:https://www.jianshu.com/p/c82cada7e5b0

给出算法代码,关于此题实现还没来得及写。

#include 
#include 
using namespace std;

string longestPalindrome(string &s)
{
    const int len = s.size();
    int maxlen = 1;
    int start = 0;

    for(int i = 0; i < len; i++)//求长度为奇数的回文串
    {
        int j = i - 1, k = i + 1;
        while(j >= 0 && k < len && s.at(j) == s.at(k))
        {
            if(k - j + 1 > maxlen)
            {
                maxlen = k - j + 1;
                start = j;
            }

            j--;
            k++;
        }
    }

    for(int i = 0; i < len; i++)//求长度为偶数的回文串
    {
        int j = i, k = i + 1;
        while(j >= 0 && k < len && s.at(j) == s.at(k))
        {
            if(k - j + 1 > maxlen)
            {
                maxlen = k - j + 1;
                start = j;
            }

            j--;
            k++;
        }
    }

    return s.substr(start, maxlen);
}


int main()
{
    string s;
    cout << "Input source string: ";
    cin >> s;
    cout << "The longest palindrome: " << longestPalindrome(s);
    return 0;
}

作者:海天一树X
链接:https://www.jianshu.com/p/c82cada7e5b0
來源:简书
简书著作权归作者所有,任何形式的转载都请联系作者获得授权并注明出处。

方法四:Manacher算法 (马拉车)

参考我的这篇博文即可:https://blog.csdn.net/weixin_42110638/article/details/83588967

实现代码

#include 
using namespace std;
const int maxn =1e6;
string str;
string s_new;
int len[maxn<<1];
int init(string st)
{
    int len = st.size();
    s_new='$';
    for(int i =1; i <= 2*len; i+=2)
    {
        s_new += '#';
        s_new += st[i/2];
    }
    s_new+='#';
    s_new+='\0';
    return 2*len+1;// 返回 s_new 的长度

}
int Manacher(string st,int len_)
{
    int mx = 0,ans = 0,po =0;//mx即为当前计算回文串最右边字符的最大值
    for(int i =1; i <= len_ ; i++)
    {
        if(mx>i)
            len[i]=min(mx-i,len[2*po-i]);
        else
            len[i]=1;//如果i>=mx,要从头开始匹配
        while(st[i-len[i]]==st[i+len[i]])
            len[i]++;
        if(len[i]+i>mx)//若新计算的回文串右端点位置大于mx,要更新po和mx的值
        {
            mx = len[i]+i;
            po = i;
        }
        ans = max(ans,len[i]);//返回Len[i]中的最大值-1即为原串的最长回文子串额长度
    }
    return ans  - 1;
}
int main()
{
    getline(cin,str);
    int l = init(str);
    cout<

 

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