Watching Fireworks is Fun(CF372C)

1. Watching Fireworks is Fun(CF372C)

 Decscription

• 一个节日将在一个镇的主街道上举行。 街道被分为\(n\)段，从左到右编号为\(1\)到\(n\)，每个相邻部分之间的距离为\(1\)。

• 节日里在主街道有 \(m\) 个烟花要放，第\(i(1\le i\le m)\)次烟花将在 \(t_i\) 时在 \(a_i\) 段燃放。 如果您在第 \(i\) 次发射时处于 \(x(1\le x \le n)\) ，您将获得幸福值 \(b_i-|a_i-x|\) （请注意，幸福价值可能是负值）

• 您可以以单位时间间隔移动长度为 \(d\) 个长度单位，但禁止离开主要街道。 此外，在初始时刻（时间等于 \(1\) ）你可以在街道的任意部分，并希望最大化从观看烟花获得的幸福总和。 找到最大的总幸福。

• 请注意，两个或多个烟花可以同时发射

Input

• 第一行包含三个整数\(n, m, d (1≤ n ≤150000; 1≤ m ≤300; 1≤ d ≤ n)\)

• 接下来\(m\)行每行包含三个整数\(a_i, b_i, t_i (1≤ a_i ≤ n; 1≤ b_i ≤10^9; 1≤ t_i ≤10^9)\)。第\(i\)行描述第\(i\)次烟花发射

• 确保满足条件\(t_i≤t_{i + 1}(1≤i。

Output

• 输出一个整数 —— 从观看所有烟花获得的最大幸福总和

Sample Input

样例输入1：
50 3 1
49 1 1
26 1 4
6 1 10

样例输入2：
10 2 1
1 1000 4
9 1000 4

Sample Output

样例输出1：
-31

样例输出2：
1992

• 分析

  • 如果 \(i\) 时位置确定，在 \(x_i\) ，则到下一个燃放时刻时最远能一定\(h=(t_{i+1}-t_i)*d\)，则位置可能在$[x_i-h,x_i+h] $ 。

  • 所以该次燃放后可能获得的幸福总和由上一次位于\([j−h,j+h]\)处的\(2h+1\)种情形得到。

  • 定义：\(dp[i][j]\)，表示第 \(i\) 次烟花燃放时位于 \(j\) 时所能获得的最大的幸福总和。

  • 动态转移方程：\(dp[i][j]=max(dp[i-1][k])+b[i]-|a[i]-j|,k\in [j-h,j+h]\) 。

    • 第 \(i\) 次燃放时处于 \(j(1\le j\le n)\)，那第 \(i-1\) 次燃放时必须能到达 \(j\) ，所以 \(j-h\le k \le j+h\)。
    • 当前状态至于上一行的某个区间的最值有关，我们很快就能联想起用单调队列进行优化。
    • 当前行状态至于上一行的状态相关，果断滚动数组压维。
    • 时间效率：\(O(m*n)\)。

  • Code

    #include 
    typedef long long LL;
    const int maxn=15e4+5;
    LL dp[2][maxn];
    void Solve(){
        int n,m,d;scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);
        int pre_t=1,k=0;//pre_t 记录上一个烟花的时刻,k滚动数组标记，k当前行，!k上一行
        while(m--){
            int a,b,t;scanf("%d%d%d",&a,&b,&t);
            LL h=1LL*(t-pre_t)*d;//从上一个时刻到这个烟花燃放时刻最远能走多远
            h=std::min(h,LL(n));//h过大没什么意义，最大为n
            pre_t=t;//为下一个时刻做准备
            k=!k;//滚动数组标记
            std::deque  q;
            for(int i=1,j=1;i<=n;++i){//i枚举当前燃放时所处的位置,j表示上一个烟花时可能的为主    
                for(;j<=i+h && j<=n;++j){//注意j在上面定义的，即当i改变位置时，j没有重新赋值
                    while(!q.empty() && dp[!k][q.back()]<=dp[!k][j])q.pop_back();
                    q.push_back(j);//当上一行j位置的dp值比队尾大时显然，队尾就没用了
                }
                while(!q.empty() && q.front()