参数假设检验

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一、基本思想

​ 无论是怎样的假设，假设检验的思想是一样的，就是所谓概率性质的反证法。其根据是实际推断原理：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。进一步讲，要检验某假设H₀，先假设H₀正确，在此假设下构造某一事件A，它在H₀正确的条件下概率很小，例如$P(A|H_0)=\alpha (=0.05)$。现在进行一次实验，如果A事件发生了，也就是说小概率事件在一次实验中居然发生了，这与实际推断原理相矛盾，这表明“假定H₀为正确”是错误的，因而拒绝H₀；反之，如果小概率事件没有发生，我们就没有理由拒绝H₀，通常就接受H₀。

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二、两类错误

​ 从主观上讲，我们总希望经过假设检验，能作出正确的判断，即若H₀确实为真，则接受H₀；若H₀确实为假，则拒绝H₀。但在客观上，我们是根据样本所确定的统计量的值来推断的，由于样本的随机性，在推断时就不免要犯错误。

• 第一类错误——弃真：$\alpha =P(拒绝H_0|H_0为真)$
• 第二类错误——取伪：$\beta =P(接受H_0|H_0为假)$

​ 我们当然希望犯两类错误的概率都很小，但是在样本容量固定时是办不到的。通常把解决这一问题的原则简化成只对第一类错误的最大概率α加以限制，而不考虑犯第二类错误的概率β。这种统计假设检验问题称为显著性检验，并将犯第一类错误的最大概率α称为假设检验的显著性水平。

​ 在一个假设检验问题中，拒绝原假设H₀的最小显著性水平称为检验的p值。

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三、检验步骤

1. 提出原假设H₀与备择假设H₁；
2. 选择检验统计量W并确定其分布；
3. 在给定的显著性水平下，确定H₀关于统计量W的拒绝域；
4. 算出样本点对应的检验统计量的值；
5. 判断：若统计量的值落在拒绝域内，则拒绝H₀，否则接受H₀。

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四、一个总体参数的检验

总体均值的检验

1、方差已知时μ的检验：z检验
$$z=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{{\sigma }_0/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

2、方差未知时μ的检验：t检验
$$t=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

总体比例的检验

​ $X_1,...,X_n$为来自总体比例为$p_0$的二项分布的样本。当样本容量较大时，比例p的抽样分布可近似地服从正态分布，因此我们可将问题转化为正态分布处理。
$$z=\frac{p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\sim N(0,1)$$

总体方差的检验

​ 方差σ²的检验：χ²检验
$${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

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五、两个总体参数的检验

两个总体均值之差的检验

1、${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$已知：z检验

​ 当两个总体均服从正态分布或虽然两个总体的分布形式未知，但抽自两个总体的样本量均较大，且两个总体的方差已知时，可以证明，由两个独立样本计算出的$\overline{x_1}-\overline{x_2}$的抽样分布服从正态分布，标准差为：
$${\sigma }_{\overline{x_1}-\overline{x_2}}=\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}$$
此时，作为检验统计量z的计算公式为：
$$z=\frac{(\overline{x_1}-\overline{x_2})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$$
2、${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$未知，且n较小：t检验
$$t=\frac{(\overline{x_1}-\overline{x_2})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})S^2}}\sim t(n_1+n_2-2)$$

两个总体比例之差的检验

​ 设两个总体服从二项分布，这两个总体中具有某种特征单位数的比例分别为${\pi }_1$和${\pi }_2$，但${\pi }_1$和${\pi }_2$未知，可以用样本比例$p_1$和$p_2$代替。在大样本条件下，统计量z的表达式为
$$z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\sim N(0,1)$$
其中 $p=\frac{p_1{n}_1+p_2{n}_2}{n_1+n_2}$为将两个样本合并后得到的比例估计量。

两个样本方差比的检验

​ 方差的比较：F检验
$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

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