连续控制器离散化方法

连续控制器离散化方法

z变化法

• 这种方法是对连续对象直接z变换，只能保证前后系统的冲激响应在采样点值相同。
• 如果变换前连续对象是稳定的，也就是极点在s左半平面，则变换后离散系统也是稳定的，其极点在单位圆内。
• 这种变换方法产生较大的频率混叠，也就是s域内一个极点的虚部对应到z域一个虚部，而另一个s域极点的虚部只要满足是刚才s域极点虚部加减kws则映射到z域同一个虚部，无法区分高频和低频，这是很大的缺陷，因此很少用，如果非要用，需要提高采样频率。

差分变化法

后向差分变换法

• 这种方法的思想相当于积分中用后向矩形来代替积分。

• 公式：
  $$s=\frac{1-z^{-1}}{T}$$

• s域左半平面映射到z域以0.5为圆心0.5为半径的圆，也就是说，原来连续系统稳定，则离散系统稳定。

• 不产生频率混叠，但是存在频率畸变(大圆变小圆)。

前向差分变换法

• 这种方法的思想相当于积分中用前向矩形来近似积分。
• 公式：
  $$s=\frac{z-1}{T}$$
• 这种方法s域左半平面映射到z域z<1区域，显然包含不稳定区域，因此连续系统稳定离散系统可能不稳定，因此这种方法很少用。
• 不产生频率混叠但产生畸变。

双线性变换法

• 利用$z=e^{sT}=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}$ 再Taylor展开得到：
  $$s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$$
• 不产生频率混叠，且s左半平面映射到z域单位圆内，这是我们很希望看到的结果。
• 变化前后频率发生畸变：
  $$w=\frac{2}{T}tan\frac{w_{1}T}{2}$$
  高频有较大畸变。

零极点匹配法

• 拥有Tustin变换的优点和缺点。
• 适用于给定连续传递函数为零极点形式。
• 分子少的零点用z域-1点凑。（Tusitn变换可得）
• 不存在频率混叠。
• 不能保证频率不畸变。
• 原系统稳定则离散系统稳定。

绘图比较

s = tf('s');
z = tf('z',0.015);
D = 20*(s+4)/(s+10);
Back = (21.2-20*z^(-1))/(1.15-z^(-1));         %后向差分
zeroholder = c2d(D,0.015);            %0阶保持器
Forward = 20*(z-0.94)/(z-0.85);    %前向差分
Tustin = (19.16-18.05*z^(-1))/(1-0.86*z^(-1));%双线性变换

k = 8*(1-exp(-0.15))/(1-exp(-0.06));
P_Z = k*(1-z^(-1)*exp(-0.06))/(1-z^(-1)*exp(-0.15));%零极点配置法

step(Back,zeroholder,'--',Forward,'-',Tustin,'r--',P_Z,'y-',D,'g-');
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综合来看Tustin变换的性质较优。