考研高等数学公式（数学一）

初等数学

因式分解

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})$

经典不等式

$\sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$

$(ac+bd{)}^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

数列

等差

$a_n=a_1+(n-1)d$

$S_n=\frac{1}{2}(a_1+a_n)$

等比

$a_n=a_1{q}^{n-1}$

$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q}$

其他

$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

三角

倍角

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

和差

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

降阶

${\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha )$

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha )$

平方

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sec }^2\alpha ={\tan }^2\alpha +1$

${\csc }^2\alpha ={\cot }^2\alpha +1$

和差化积

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$

$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$

$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$

积化和差

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$

几何

扇形面积：$S=\frac{r^2\theta }{2}$

扇形弧长：$l=r\theta$

球体体积：$V=\frac{4}{3}\pi R^3$
球体表面积：$S=4\pi R^2$

幂指函数化简

$u^v=e^{v\ln u}$

极限

泰勒展开式（幂级数）（8+4）

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5),-\infty <x<+\infty$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4),-\infty <x<+\infty$

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),-1<x\le 1$

$\ln (1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3),-1\le x<1$

$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3),-\infty <x<+\infty$

$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-x^3+o(x^3),-1<x<1$

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+x^3+o(x^3),-1<x<1$

$\frac{x}{(1-x{)}^2}=\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n,-1<x<1$

$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

重要极限

$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

一元微分

导数定义

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

微分运算

$d[uv]=udv+vdu$

$d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$

求导(7+10)

$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1},a>0,a\ne 1$

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

$(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

$[\ln (x+\sqrt{x^2+1}){]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$[\ln (x+\sqrt{x^2-1}){]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$

$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$

$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$

$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

$(\text{arccot }x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

高阶求导

莱布尼茨公式

$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^k{v}^{(n-k)}$

泰勒公式

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n}{n!}$

麦克劳林公式

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)(x{)}^n}{n!}$

中值定理

介值定理

$m\le \mu \le M\Rightarrow f(\xi )=\mu$

零点定理

$f(a)\cdot f(b)<0\Rightarrow f^{\prime }(\xi )=0$

费马定理

$x=x_0$处连续可导取极值$\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=0$（充分不必要条件）

罗尔定理

$f(a)=f(b)\Rightarrow f^{\prime }(\xi )=0$

拉格朗日中值定理

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$

柯西中值定理

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

泰勒公式（中值定理）

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(\xi )(x-x_0{)}^{n+1}}{(n+1)!}$

积分中值定理（2）

${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx,g(x)$不变号

辅助函数（6）

1. 见到$f^{\prime }(x)f(x)$，令$F(x)=f^2(x)$
2. 见到$f^{\prime \prime }(x)f(x)+[f^{\prime }(x){]}^2$，令$F(x)=f(x)f^{\prime }(x)$
3. 见到$f^{\prime }(x)+f(x){\varphi }^{\prime }(x)$，令$F(x)=f(x)e^{\varphi (x)}$
4. 见到$f^{\prime }(x)\cdot x-f(x)$，令$F(x)=\frac{f(x)}{x}$
5. 见到$f^{\prime \prime }(x)f(x)-[f^{\prime }(x){]}^2$，令$F(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$，或令$F(x)=\ln f(x)$
6. 见到${\int }_a^{b}f(x)dx=0$，令$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

微分不等式（6）

凹函数$\frac{F(x_1)+F(x_2)}{2}\ge F(\frac{x_1+x_2}{2})$

$\sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\pi }{2})$

$\arctan x\le x\le \arcsin x(0\le x\le 1)$

$e^x\ge x+1$

$\ln x\le x-1$

$\frac{1}{1+x}<\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$

曲率、曲率半径

$k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{[1+(y^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$

$R=\frac{1}{k}=\frac{[1+(y^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}{|y^{\prime \prime }|}$

一元积分

不定积分

基本积分表（10+10）

$\int x^{k}dx=\frac{1}{k+1}+C,k\ne -1$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}\cdot a^x+C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$

$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x+a}{x-a}|+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2-a^2})+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$

$\int \sin x=-\cos x+C$

$\int \cos x=\sin x+C$

$\int \tan x=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot x=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc x=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int {\sec }^{2}x=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}x=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan x=\sec x+C$

$\int \csc x\cot x=-\csc x+C$

分部积分

$\int udv=uv-\int vdu$

定积分

定积分定义

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(\frac{1}{n}\cdot i)\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^{1}f(x)dx$

定积分公式

当$n$为大于等于2的偶数时，${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$

当$n$为大于等于3的奇数时，${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}$

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$

${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx$

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{\frac{a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]dx$

${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$

${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx$

平面图形面积

极坐标系：$S={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{2}{r}^2(\theta )d\theta$

平面曲线弧长

直角坐标方程：$s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$

参数方程：$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$

极坐标方程：$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$

旋转体体积

$V_x=\pi {\int }_a^b|y_1^2(x)-y_2^2(x)|dx$

$V_y=2\pi {\int }_a^{b}x|y_1(x)-y_2(x)|dx$

旋转体侧面积

直角坐标方程绕$x$轴：$S=2\pi {\int }_a^b|y(x)|\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$

极坐标方程绕$x$轴：$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)|\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$

形心坐标

$\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$

$\bar{y}=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^2(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$

截面面积已知的立体体积

$V={\int }_a^{b}A(x)dx$

物理应用

压强$p=\rho gh$

静水压力P=${\int }_a^b\rho gx\cdot [f(x)-g(x)]dx$

细杆质心$\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}x\rho (x)dx}{{\int }_a^b\rho (x)dx}$

反常积分判敛

${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$当$p>1$时收敛，$p<=1$时发散（越大越收敛）

${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx$当$p>=1$时发散，$0<p<1$时收敛（越小越收敛）

变限积分求导

$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)dt]=f[{\varphi }_2(x)]{\varphi }_2^{\prime }(x)-f[{\varphi }_1(x)]{\varphi }_1^{\prime }(x)$

多元微分

基本概念

全增量

$\Delta z=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\Delta x\to 0}{\Delta y\to 0}}{\lim }f(x+\Delta x,y+\Delta x)-f(x,y)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$，其中，$A=f_x^{\prime }(x,y),B=f_y^{\prime }(x,y),\rho =\sqrt{x^2+y^2}$

全微分

$dz=f_x^{\prime }(x,y)dx+f_y^{\prime }(x,y)dy$

偏增量

$\Delta z_x=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x+\Delta x,y)-f(x,y)=A\Delta x+o(\rho )$

偏导

$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}$

隐函数求导

一个方程

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_y^{\prime }}$

方程组

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,z)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}}$

$\frac{dz}{dx}=\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,x)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}}$

二阶泰勒公式

$f(x,y)=f(x_0,y_0)+(f_x^{\prime },f_y^{\prime }{)}_{X_0}\left(\begin{array}{c}\Delta x\\ \Delta y\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\Delta x& \Delta y\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }& f_{xy}^{\prime \prime }\\ f_{yx}^{\prime \prime }& f_{yy}^{\prime \prime }\end{array}\right)}_{X_0}\left(\begin{array}{c}\Delta x\\ \Delta y\end{array}\right)+R_2$

二重积分

定义

$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i,c+\frac{d-c}{n}j)\cdot \frac{b-a}{n}\cdot \frac{d-c}{n}={\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy$

应用

柱体体积

$V=\underset{Dxy}{\iint }|z(x,y)|d\sigma$

总质量

$m=\underset{D}{\iint }\rho (x,y)\sigma$

质心坐标

$\bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }x\rho (x,y)d\sigma }{\underset{D}{\iint }\rho (x,y)d\sigma }$

$\bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }y\rho (x,y)d\sigma }{\underset{D}{\iint }\rho (x,y)d\sigma }$

转动惯量

$I_x=\underset{D}{\iint }{y}^2\rho (x,y)d\sigma$

$I_y=\underset{D}{\iint }{x}^2\rho (x,y)d\sigma$

$I_O=\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)\rho (x,y)d\sigma$

微分方程

一阶

能写成$y^{\prime }=f(x)\cdot g(y)$，直接分离变量

能写成$y^{\prime }=f(ax+by+c)$，令$u=ax+by+c$

能写成$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$或$y^{\prime }=f(\frac{x}{y})$，令$u=\frac{y}{x}$ 或$u=\frac{x}{y}$

能写成$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$，用公式法：$y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C]$

伯努利方程

能写成$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n(n\ne 0,1)$，令$z=y^{1-n}$，再用公式法

二阶可降阶

不显含$y$，令$y^{\prime }=p$，$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}$

不显含$x$，令$y^{\prime }=p$，$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dy}p$

二阶线性

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

齐次方程的特征方程

${\lambda }^2+p\lambda +q=0$

齐次方程的通解

若$p^2-4q>0$，$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$

若$p^2-4q=0$，$y=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_x}$

若$p^2-4q<0$，$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

特解

当自由项$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$时，特解设为$y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_n(x)x^k$，$k$为与$\alpha$相同的$\lambda$的个数.

当自由项$f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$时，特解设为$y^{\ast }=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin \beta x]x^k$，$l=\max \{m,n\}$，$k$取决于$\alpha \pm \beta i$是否为特征根

欧拉方程

$x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=f(x)$

$x>0$，令$x=e^t$

$x<0$，令$x=-e^t$

n阶线性齐次

如$y^{\prime \prime \prime }+p_1{y}^{\prime \prime }+p_2{y}^{\prime }+p_{3}y=0$

特征方程

${\lambda }^3+p_1{\lambda }^2+p_2\lambda +p_3=0$

通解

单实根：$y=C{e}^{\lambda x}$

重实根：$y=(C_1+C_{2}x+C_3{x}^2+\cdots +C_k{x}^{k-1}{e}^{\lambda x})$（有高阶必有低阶）

单复根$\alpha \pm \beta i$：$y=e^{ax}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$（成对出现）

无穷级数

判敛法

重要结论

先积后导

$f(x)=[\int f(x)dx{]}^{\prime }$

先导后积

$f(x)=f(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}^{\prime }(t)dt$

傅里叶级数

$f(x)=\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$

$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$

$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx$

$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$

$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$

多元积分

基础

曲线的切线与法平面

参数方程

切向量：$\mathbf{\tau }=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))$

切线方程：$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}$

法平面方程：$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$

方程组

切向量：$\mathbf{\tau }=(1,y^{\prime }(x_0),z^{\prime }(x_0))$

切线方程：$\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(x_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(x_0)}$

法平面方程：$1\cdot (x-x_0)+y^{\prime }(x)(y-y_0)+z^{\prime }(x)(z-z_0)=0$

曲面的切平面与法线

显式/隐式方程

法向量：$\mathbf{n}=(F_x^{\prime }{|}_{P_0},F_y^{\prime }{|}_{P_0},F_z^{\prime }{|}_{P_0})$

法平面方程：$F_x^{\prime }{|}_{P_0}\cdot (x-x_0)+F_y^{\prime }{|}_{P_0}\cdot (y-y_0)+F_z^{\prime }{|}_{P_0}(z-z_0)$

法线方程：$\frac{x-x_0}{F_x^{\prime }{|}_{P_0}}=\frac{y-y_0}{F_y^{\prime }{|}_{P_0}}=\frac{z-z_0}{F_z^{\prime }{|}_{P_0}}$

参数方程

法向量：$\mathbf{n}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x_u^{\prime }& y_u^{\prime }& z_u^{\prime }\\ x_v^{\prime }& y_v^{\prime }& z_v^{\prime }\end{array}\right|$

切平面方程：$A(x-x_0)+B(y-y_0)-C(z-z_0)=0$

法线方程：$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$

柱面问题

柱面的每一个切面的法向量都与某一个向量垂直（只需找一个$\mathbf{\tau }$向量即可）

曲线在面上的投影

在$xOy$面上的投影消除$z$，$z=0$

旋转曲面

设出曲线某一点 ( x 0 , y 0 , z 0 )