一个数学问题，兼新功能展示

这可以看作是一个测试帖，虽然同时也是一个数学帖，嗯嗯。

问题是这样的——
　　假定总共有N个字符，其中字符A出现P次，字符B出现Q次，组合AB出现X次，求完全随机的状态下这种情况出现的概率。

这里分母很容易求：

总可能数

问题在于分子，也就是P个A、Q个B中有X个AB组合的情况，要如何给出。

在直接求出分子前，我们来看另外一个问题——

N个字符中有P个A和Q个B，不构成AB组合的情况有多少中？

这个问题的直觉解答是这样的（回头给一个非直觉解答，也可以从这个直接解答的答案来倒推）：
　　这种情况的数量等于A彼此不相邻且不构成AB组合的情况，有一个AA且不构成AB组合的情况，有两个AA且不构成AB组合的情况，等等等等，以及有AAA且不构成AB组合的情况，等等等等，求和在一起。
　　之所以要给这个思路，完全是为了配合新功能展示……

其中，后面的所有项都可以通过第一项构造出来，而第一项则为：

A不和A与B相连的情况

　　其中，第一行的第一项是A不在最后一个的情况，第二项是A在最后一个的情况。思路就是将A和任何B以外的东西看作一个整体，于是N个字符就变成了N-P个字符，问题就成了从N-P个字符中任意选择P个和Q个作为A和B。对于A在末尾的也采用同样的思路。
　　接着，在求和项中，后面的部分就是在这一项的基础上，修改为在共N-t个字符中有P-t个A和Q个B，且A和A不相连，也不构成AB组合。接着，将那移出的t个A任意放在这里参加选择的p-t个A上，就可以构成有多个A相连的情况了，从而上述求和就成了：

最后的求和结果

　　这个结果换一个思路理解，就是这样的：

Paste_Image.png

　　这个式子对应的思路就是这样的：
　　我们在N个字符中取出P个作为A，然后剩下的里面选择Q个作为B。然后，在这个情况下，将P个留作后用的放回，取出Q个B之前的空格不放A，在剩下的里选择A。
　　是不是很简单？

这就是原题中X=0时的解中的分子。
　　而，对于X不为０的情况，可以通过这个结果做一个变换来得到——
　　假定现在有N-X个字符，其中P-X个A和Q-X个B，且没有任何A和B构成AB组合。在这个情况下，我们在不是A或B的N-P-Q+X个字符中选择X个，作为AB组合，这样得到的就是只有X个AB别的A和B不构成AB的情况，从而答案就是：

最后作为答案的分子

从而，题目的答案就有了：

最终结果

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哈哈，作为测试帖，是不是发现数学公式很多呀？
　　由此我们也发现，QQ还是有好处的，就是ctrl+alt+a可以截取屏幕部分内容，用来这样做公式很爽哦～～～～