时域、频域、傅里叶级数、傅里叶变化、拉普拉斯变化

刚入手GCN，就知道从两个角度—时域和频域看GCN，但是具体也不明白，查资料记录一下。

时域和频域

时域时真实世界，是唯一实际存在的域，因为我们的经历都是在时域中发展和验证的，已经习惯于事件按时间的先后顺序发生。
例如，听一段音乐，音乐以波的形式传入我们耳中，随着时间流逝，我们就完整听完这段音乐。
在频域中，我们听到的音乐是特定的特定的音符，是波的形式，与时间没有关系。


这张图清楚显示了时域和频域，从图上中时域的角度看，信号是由多种不同频率正玄波的叠加，时域的角度比较形象与直观；从频域角度看，比较简练。
在分析一个问题时，时域和频域为我们提供了不同的角度。

傅里叶级数

为了方便分析时域和频域，进行频谱分析：就是把复杂的时域信号(周期或者非周期)变成频域形式并加以分析的方法称为频域分析。目的就是把复杂的时域波形，经过某种变化分解为单一的谐波分量来研究，以获得信号的频域结构和相位信息。这种变换就可以是傅里叶变换，目的就是把复杂的时域信号变成频域信号，便于研究。
看傅里叶级数：任何连续周期信号都可以表示成为一组适当的加权正弦曲线的和。

可以看出，傅里叶级数之适合用于周期函数。
PS:基波：傅里叶级数中周期最大（频率最低）的波。
谐波：傅里叶级数中处基波意外的波。
我们将傅里叶级数的概念推广到非周期的信号，就可得到傅里叶变换。在看傅里叶级数之前，先看下复指数形式的傅里叶级数：

复指数形式的傅里叶级数

复指数形式的傅里叶级数主要是想把上面傅里叶级数中的
部分换成欧拉方程的形式。上面的这个傅里叶级数经过了一系列的推导，集体过程见下边的这两篇博客，推导一下，我的工作是在上边的推导的过程中这里开始的：


最后把x(t)最终化成了，上边的形式：
，有木有发现，这种形式看起来很简洁，这就是复指数形式的傅里叶级数。

傅里叶变换

上面的假设是满足 狄里赫利条件(Dirichlet conditions)，周期为T=2PI的信号函数x(t),展成w的整数倍频率的cos和sin正交基函数之和，所以是离散的频率，之间的间隔就是1/T。如果周期T变成周期无限大的周期信号T趋向于无穷。
这个时候，1/t就无穷小了，1/t趋向于0，（请看下面的照片吧）

这个过程就是傅里叶变换，牢记这个变换的初衷是把信号从时域变成频域。
最后还需要把频域的信号变成时域信号；

根据傅里叶变换的条件三，可知利用傅里叶变换是只有假设的信号为无穷，这个无穷需要趋向于0时，才能满足傅里叶变换的条件。
下边的图说明上边变换的过程：

拉普拉斯变换

上边提到的绝对可积条件使得上升信号比如（e-axe的ax次方，递增趋向无穷大)，就不能用傅里叶变换了，为了使得更多的信号存在变换，满足傅里叶变换的条件，就需要引入一个衰减因子，保证信号在趋向于正负无穷的时候，幅度衰减到0，一般的衰减因子会选择。

拉氏变换是傅氏变换的基础上引入了衰减因子，他把X(t)分解为无限多个变幅、震荡之和,并且振幅随着变化。
参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/19759362
https://www.zhihu.com/question/34899574/answer/612923473
后边继续学习图上的拉普拉斯变换和傅里叶变换！