【信号与系统学习笔记】—— 离散傅里叶变换的扩展：z 变换分析1

一、z变换的引入

首先，我们来看看DTFT的公式：$$\begin{gathered} X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]e^{-j\omega n} \\ x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega \end{gathered}$$
那么我们对于第一个式子，如果令 $z=e^{j\omega }$，那么就有：$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]z^{-n}$$
这是当 $|z|=1$ 时的 z 变换公式。那么，如果更一般的讲，我们令：$z=r{e}^{j\omega }$，那么就有：$$\begin{array}{rl}X(z)& =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]z^{-n}\\ & =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]r^{-n}{e}^{-j\omega n}\\ & =\mathcal{F}(x[n]r^{-n})\end{array}$$
也就是说，z 变换可以看作是 $x[n]r^{-n}$ 的傅里叶变换。其中，当 $r=1$ 时，就变成了傅里叶变换。

值得注意的是，我们看 $z=r{e}^{j\omega }$ 的表达式，其实是极坐标形式，$r$ 就可以表示半径。那么在 $z$ 变换里面非常关键的就是单位圆，他的作用与 拉氏变换里面的虚轴一样。

二、一些常用的 z 变换对

首先我们来看看 $x[n]=a^{n}u[n]$

他的DTFT我们很熟悉：当 |a| < 1时，$x[n]=a^{n}u[n]$ 的DTFT为：$\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$
下面我们来看看它的z变换：$$\begin{array}{rl}X(z)& =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{a}^{n}u[n]z^{-n}\\ & =\sum _{n=0}^{+\infty }{a}^n{z}^{-n}\\ & =\sum _{n=0}^{+\infty }(a{z}^{-}1{)}^n\end{array}$$
我们发现，这就是一个等比数列求和问题了。为了使得数列的和有限存在，我们应该令公比 $(a{z}^{-1})<1$，那么数列的和即为：$$X(z)=\frac{1}{1-a{z}^{-1}}=\frac{z}{z-a}$$
其ROC为：$|a{z}^{-1}|<1$，即：$|z|>|a|$，所以我们知道 ROC 的形状是一个半径大于 $|a|$ 的区域。那么这里又分为两种情况：1. $0<|a|<1$ 2. $|a|>1$。我们看看$0<|a|<1$的图：
可想而知，当 $|a|>1$ 时，其傅里叶变换就不存在了（因为 ROC不包括单位圆）

---

下面我们来看看 $x[n]=-a^{n}u[-n-1]$

$$\begin{array}{rl}X(z)& =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }-a^{n}u[-n-1]z^{-n}\\ & =-\sum _{n=-\infty }^{-1}{a}^n{z}^{-n}\\ & =-\sum _{n=1}^{+\infty }{a}^{-n}{z}^n\\ & =1-\sum _{n=0}^{+\infty }(a^{-1}z{)}^n\end{array}$$
同样地就变成了等比数列求和，要使得和有限，就应有：$|a^{-1}z|<1$，即：$|z|<|a|$，那么结果为：$$X(z)=1-\frac{1}{1-a^{-1}z}=\frac{z}{z-a}$$
但是，虽然 z 变换的表达式和上面那个情况一样，但是 ROC却大有不同：

总结一些，大家需要记忆的两类信号：

1. $x[n]=a^{n}u[n]$（右边信号）
2. $x[n]=-a^{n}u[-n-1]$（左边信号）

---

三、z 变换 ROC 的性质

既然有了拉氏变换关于 ROC 性质的印象，那么这里我们也就直接引入 z 变换 ROC 的性质：$$

1. 对于左边信号而言，ROC 位于最外层极点的外面
2. 对于右边信号而言，ROC 位于最内层极点的里面
3. 对于双边信号而言，ROC 是一个以原点为中心的圆环
4. z 变换的 ROC 不会包括任何一个极点
5. 若 $x[n]$ 是有限长度的，那么，ROC可能是整个平面（但是有可能除去 z = 0 和/或 z = ∞)

三、z 变换的性质