[leetcode]96.不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路：
二叉搜索树的性质为左子树所有比根节点小，右子树所有比根节点大。
设G(N)表示N个节点表示的二叉搜索树的不同结构个数。
对N个节点：
1.如果以1为根节点，则左子树G(0)中情况，右子树G(n-1)中情况，共G(0)*G(n-1)。
2.如果以2为根节点，则左子树G(1)中情况，右子树G(n-2)中情况，共G(1)*G(n-1)。
…
n.如果以n为根节点，则左子树G(n-1)中情况，右子树G(0)中情况，共G(n-1)*G(0)。

于是G(n)等于上面所有结果相加。

采用动态规划的思想，设dp[n]为n个节点不同结构二叉搜索树的不同结构数。
初始化dp[0]=1，dp[1]=1。
最后返回dp[n]即可。

AC代码：

class Solution {
   public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1, dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};