小护士读书笔记系列之《深入理解计算机系统》第二章信息的表示和处理（四）

小护士读书笔记系列之《深入理解计算机系统》第二章信息的表示和处理（四）

欢迎来到小护士读书笔记系列之《深入理解计算机系统》第二章信息的表示和处理（四），浮点数。该小节作为第二章最后一部分，其内容理解难度远超小护士想象；其实也可以理解，因为浮点数的表示和处理都不得不说IEEE 754，而在有限的篇幅中清晰完整简洁地介绍这个工业标准实在太难。

因此，小护士在这里只要求自己学会理解浮点数怎么存储在二进制中，以及为什么浮点数小数精度有限制。对于其他诸如浮点数运算以及C语言的浮点数表示，本书作者也没有用太长的篇幅去详细介绍，估计他也不想广大读者走火入魔，除非读者是准备搞CPU芯片的；还记得整数表示的小端法吗？

2.4.1 二进制小数（学前班）

从十进制开始重新认识小数点：

12.3410=1×101+2×100+3×10−1+4×10−2 12.34 10 = 1 × 10 1 + 2 × 10 0 + 3 × 10 − 1 + 4 × 10 − 2

从二进制开始慢慢了解小数点：

101.112=1×22+0×21+1×20+1×2−1+1×2−2 101.11 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 1 × 2 − 1 + 1 × 2 − 2

看懂上面两条小等式以后，就总结一下浮点数的小数位怎么在二进制表示：

1.112=1×20+1×2−1+1×2−2=1+12+14=1.7510 1.11 2 = 1 × 2 0 + 1 × 2 − 1 + 1 × 2 − 2 = 1 + 1 2 + 1 4 = 1.75 10

看完上面这条小等式，大家应该明白，二进制浮点数不能表示任何小数，只能近似表示，因此就会出现精度问题，而程序员或计算机科学家往往只能选择舍入处理。

2.4.2 IEEE 浮点表示（毕业班）

IEEE 754 选择一个标准的数学等式来规范浮点数的表示：

V=(−1)s×2E×M V = ( − 1 ) s × 2 E × M

其中，（可以先扫一眼）

• V V ，value，归约后的小数值；
• s s ， sign （符号位）；
• 2E×M 2 E × M ，未归约的小数值；
• 2E 2 E ，阶码的权重；
• E E ，exponent（指数），偏置之后的阶码值；
• E=e−Bias E = e − B i a s ，规格化的情况；
• E=1−Bias E = 1 − B i a s ，非规格化的情况；
• e e ，exponent（指数），无符号数，阶码；
• Bias B i a s ，bias（偏差），偏置值；
• Bias=2k−1−1 B i a s = 2 k − 1 − 1 ，偏置值计算；
• k k ，阶码位数
• M M ， Mantissa（尾数），尾数的值；
• M=1+f M = 1 + f ，规格化的情况；
• M=f M = f ，非规格化的情况；
• f f ，fraction（尾数的分数表示）；

下面以5位比特表示浮点数IEEE为例，持续讲解：

IEEE规定，位分三组：

0 00 00

其中，

• 第一组是符号
• 第二组是阶码
• 第三组是尾数

再来，

• 第一位作为第一组表示正负数，与补码表示一致，1为负数，0为非负数。
• 第二位和第三位作为第二组表示 e e ，一个无符号数的阶码，该数可以转为 E E 。
• 第四位和第五位作为第三组表示 f f ，分数，该数可以转为 M M 。

在继续深入前，先了解一下，浮点数表示的三种情况：

• 规格化的值，第二组的值不为 0 0 也不为 255 255 ，即不全为 0 0 ，也不全为 1 1 。
• 非规格化的值，第二组的值全为 0 0 。
• 特殊值：正负无穷，第二组的值全为 1 1 ，第三组的值全为 0 0 。
• 特殊值：NaN，第二组的值全为 1 1 ，第三组的值不全为 0 0 ；

三种情况：规格化、非规格化、特殊值，它们会有各自的公式代入计算浮点数；

下面会列出表格，说明浮点数的三种情况如何表示：

由于阶码有两位表示，即 k=2 k = 2 ，可得 Bias=2k−1−1=1 B i a s = 2 k − 1 − 1 = 1

位	情况	e e	E E	2E 2 E	f f	M M	2E×M 2 E × M	V V	十进制
0 00 00	非规格化	0	0	1	04 0 4	04 0 4	04 0 4	0 0	0.0 0.0
0 00 01	非规格化	0	0	1	14 1 4	14 1 4	14 1 4	14 1 4	0.25 0.25
0 00 10	非规格化	0	0	1	24 2 4	24 2 4	24 2 4	12 1 2	0.5 0.5
0 00 11	非规格化	0	0	1	34 3 4	34 3 4	34 3 4	34 3 4	0.75 0.75
0 01 00	规格化	1	0	1	04 0 4	44 4 4	44 4 4	1 1	1.0 1.0
0 01 01	规格化	1	0	1	14 1 4	54 5 4	54 5 4	54 5 4	1.25 1.25
0 01 10	规格化	1	0	1	24 2 4	64 6 4	64 6 4	32 3 2	1.5 1.5
0 01 11	规格化	1	0	1	34 3 4	74 7 4	74 7 4	74 7 4	1.75 1.75
0 10 00	规格化	2	1	2	04 0 4	44 4 4	84 8 4	2 2	2.0 2.0
0 10 01	规格化	2	1	2	14 1 4	54 5 4	104 10 4	52 5 2	2.5 2.5
0 10 10	规格化	2	1	2	24 2 4	64 6 4	124 12 4	3 3	3.0 3.0
0 10 11	规格化	2	1	2	34 3 4	74 7 4	144 14 4	72 7 2	3.5 3.5
0 11 00	特殊值：正无穷	-	-	-	-	-	-	+∞ + ∞	-
1 11 00	特殊值：负无穷	-	-	-	-	-	-	−∞ − ∞	-
0 11 01	NaN	-	-	-	-	-	-	NaN N a N	-
0 11 10	NaN	-	-	-	-	-	-	NaN N a N	-
0 11 11	NaN	-	-	-	-	-	-	NaN N a N	-

英特尔说了算

英特尔于1980年左右，推出类似IEEE754标准，成为后来1985年的工业标准，一直沿用至今；不得不服，老大哥就是老大哥，中兴没芯也是有道理的。要是能去英特尔工作也是一份荣耀，哪怕只是去洗厕所。说偏了，小护士回到正题：

32位浮点数怎么表示？

31	30~23	22~0
s（符号）	exp（阶码）	frac（尾数的分数表示）

64位浮点数怎么表示？

63	62~52	51~32
s（符号）	exp（阶码）	frac（尾数的分数表示）

31~0
frac（尾数的分数表示）

2.4.4~2.4.6 舍入、浮点运算、C语言的浮点数

小护士想说的是，能够坚持看到这里，说明你已经是一个骨骼精奇的可造之材，将来必定能拿下武林至尊的称号。:)

舍入怎么做？这个可以直接参考Java语言的BigDecimal的舍入（rounding）策略。具体来说，无非是向上舍入、向下舍入、四舍五入、向零舍入、向偶数舍入。没听过的舍入策略可以先不管了，基本用不着，除非你要设计发射火箭的小程序。

浮点运算怎么做？书中没有详细介绍，只是说说交换律有很多坑，舍入有很多坑，这些坑可以让火箭发射没多久直接爆炸。真人真事，1996年6月4日，Ariane 5火箭初次航行，没多久偏离飞行路径，解体，爆炸。原因是一个64位浮点数转换成16位有符号整数时，产生了溢出。一个火箭，价值5个亿美元，约33.87个亿人民币，也就是34个小目标。:)

C语言没有强制要求浮点数遵循IEEE标准去做。:)

第二章终于搞完啦

接下来，要开始第三章啦，准备手撸汇编和C语言，准备好了吗？

请期待下一篇小护士读书笔记系列之《深入理解计算机系统》第三章程序的机器级表示（一）。