动态规划之矩阵连乘

题目描述：

                给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中，Ai与Ai+1是可乘的，(i=1,2 ,…,n-1)。用加括号的方法表示矩阵连乘的次序，不同的计算次序计算量（乘法次数）是不同的，找出一种加括号的方法，使得矩阵连乘的次数最小。

例如：

                  A1是A（5*10）的方阵；

                  A2是A（10*100）的方阵；

                  A3是A（100*2）的方阵；

那么有两种加括号的方法：

1. （A1A2）A3；

     2.   A1（A2A3）；

     第一种方法的计算量：5*10*100+5*100*2=6000；

     第二种方法的计算量：10*100*2+5*10*2=2100；

     可以看出不同计算方法计算量差别很大。

问题分析：

1. 矩阵连乘的条件：第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行，此时两个矩阵是可乘的；

2. 多个矩阵连乘的结果矩阵，其行列等于第一个矩阵的行和最后一个矩阵的列；

3.两个矩阵相乘的计算量：

例如：A（3*2），B（2*4）

 可知总执行次数为：3*2*4=24.

所以矩阵Am*n和Bn*k的乘法运算次数为：m*n*k；

4.矩阵连乘AiAi+1Ai+2……Aj的最优解问题

假设在第k位置上找到最优解，则问题变成了两个子问题：（AiAi+1……Ak），（Ak+1……Aj）

用m[i][j]表示矩阵连乘的最优值，那么两个子问题对应的最优值变成m[i][k],m[k+1][j];

设矩阵Am的行数为Pm，列数为qm，矩阵是可连乘的，即相邻矩阵qm=Pm+1，所以（AiAi+1……Ak）可表示为Pi * qk，

（Ak+1……Aj）可表示为Pk+1 * qj，qk = Pk+1.则两个矩阵连乘的乘法次数为Pi * Pk+1 * qj。

5.矩阵连乘最优值递归式：

 

代码实现：

#include
#include 
using namespace std;

const int size=100;
int p[size];
int m[size][size],s[size][size];
int n;

void matrixchain()
{
	int i,r,j,k;
	memset(m,0,sizeof(m));
	memset(s,0,sizeof(s));//初始化数组
	for(r=2;r<=n;r++)//矩阵连乘的规模为r 
	{
		for(i=1;i<=n-r+1;i++)
		{
			j=i+r-1;
			m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//对m[][]开始赋值
			s[i][j]=i;//s[][]存储各子问题的决策点
			for(k=i+1;k>n;
	int i,j;
	cout<<"请依次输入每个矩阵的行数和最后一个矩阵的列数："<>p[i];
	matrixchain(); 
	print(1,n);
	cout<