冒泡排序及其复杂度分析

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问题：给定一个整数序列，按照从小到大的顺序（确切地说，是非递减的顺序）排列序列中的整数。

输入：一个整数序列。

输出：整数序列，其中的整数升序排列。

因为谭浩强的C语言教材，大家最熟悉的可能就是冒泡排序。
下面是冒泡排序的一个C语言实现，a是数组首地址， size 是数组元素的个数。

冒泡排序的思想，是让最大的数浮动到数组最后的位置，其次大的数浮动到数组倒数第二个位置……
当然，你也可以从大到小排序，也可以从后向前冒泡。其特征操作是相邻元素的比较和交换。

void bubble_sort(int *a, int size)
{
  int i, j, t;
  for(i = 1; i < size; ++i){
    for(j = 0; j < size -i; ++j){
      if(a[j] > a[j+1]){
        t = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = t;
      }
    } // end for j
  }// end for i
}

时间复杂度分析。其外层循环执行 N - 1次。内层循环最多的时候执行N次，最少的时候执行1次，平均执行 (N+1)/2次。
所以循环体内的比较交换约执行 (N - 1)(N + 1) / 2 = (N^2 - 1)/2（其中N^2是仿照Latex中的记法，表示N的平方）。按照计算复杂度的原则，去掉常数，去掉最高项系数，其复杂度为O(N^2)。

冒泡算法的性能改进。上述算法的性能还有改进的空间。给定一个整数序列 [9, 3, 4, 5, 7]，每完成一次上述算法的外层循环，整数序列变化为：

9, 3, 4, 5, 7
3, 4, 5, 7, 9 (i = 1)
3, 4, 5, 7, 9 (i = 2)
3, 4, 5, 7, 9 (i = 3)
3, 4, 5, 7, 9 (i = 4)

我们发现当第一次外层循环完成后，排序就完成了。后面的循环只有比较，而没有交换。
当一次外层循环中，相邻的元素没有发生交换，就说明数组已经是有序的了，这时可以跳出循环。
这样，我们可以设置一个布尔变量，记录一次外层循环中是否发生交换，如果未发生交换，算法就返回。

改进的冒泡排序的C语言实现如下：

void bubble_sort_enhanced(int *a, int size)
{
    int i, j, t;
    unsigned char swapped;
    for(i = 1; i < size; ++i) {
        swapped = 0;
        for(j = 0; j < size - i; ++j) {
            if(a[j] > a[j+1]){
                t = a[j];
                a[j] = a[j+1];
                a[j+1] = t;
                swapped = 1;
            }
        }
        if(!swapped)
            break;
    }
}

按照改进的算法，对于一个已经有序的数组，算法完成第一次外层循环后就会返回。
实际上只发生了 N - 1次比较，所以最好的情况下，该算法复杂度是O(N)。