大话数据结构笔记（六)

1. 串(string)是由零个或多个字符串组成的有限序列,又名叫字符串.

a. 串中的字符数目n称为串的长度;
b. 零个字符的串称为空串(null string),长度为零,用””表示.
c. 序列:相邻字符之间具有前驱和后继的关系.

2. 空格串:是只包含空格的串.
3. 字串与主串:

a. 字串:传中任意个数的连续字符组成的子序列称为改串的字串,字串的位置就是字串的第一个字符在主串中的序号.
b. 主串:包含字串的字符串.

4. 串的比较:给定两个串,s=”a1a2a3…….an”,t=”b1b2b3……bn”,当满足以下条件之一时,s

a. n b. 存在某个k<=min(m,n),使得ai = bi(i=1,2,3,….k-1),ak

5. 串的抽象数据类型
   
6. 串的存储结构:串的存储结构与线性表相同,分为两种.

a. 串的顺序存储结构
b. 串的链式存储结构

7. 朴素模式匹配算法:字串的定位操作通常称作串的模式匹配.
   
8. KMP模式匹配算法:克努特-莫里斯-普拉特算法,简称KMP算法.(不懂推导,需要学习)

a. KMP模式匹配算法原理:

b. KMP算法实现:

9. KPM算法改进:
10. 树(Tree):是n(n≥0)个结点的有限集.n=0时称为空树.在任意一颗非空树中:

a. 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
b. 当n>1时,其余结点可分为m(m > 0)个互不相交的有限集T1,T2…….Tm,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树(SubTree)

11. 结点

a. 结点的分类:结点拥有的子树称为结点的度(Degree).树的度是树内各结点的度的最大值.

i. 度为0的结点称为叶节点(Leaf)或终端结点;
ii. 度不为0的结点称为非终端结点或分支结点;
iii. 除根节点之外,分支结点也称为内部结点.

b. 结点之间的关系

i. 结点的子树的根称为该结点的孩子(Child),相应地,该节点称为孩子的双亲(Parent);
ii. 同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling).
iii. 结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点.
iv. 以某节点为根的子树中的任一结点都称为该节点的子孙.

c. 树的其它概念

i. 结点的层次(Level)从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层.双亲在同一层的结点互为堂兄弟.
ii. 树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度.

iii. 如果树中结点的各子树看成从左至右是有次序的,不能互换的,则称该树为有序树,否则称为无序树.
iv. 森林(Forest)是m(m≥0)棵互不相交的树的集合.对于书中的结点而言, 其子树的集合即为森林.

12. 线性结构和树结构的对比:

a. 线性结构:

i. 第一个数据元素:无前驱;
ii. 最后一个数据元素:无后继;
iii. 中间元素:一个前驱一个后继;

b. 树结构:

i. 根节点:无双亲,唯一;
ii. 叶节点:无孩子,可以多个;
iii. 中间结点:一个双亲多个孩子.

13. 树的抽象数据类型:
    
14. 树的存储结构:

a. 双亲表示法:在每个结点中,附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置.其中data是数据域,存储结点的数据信息.而parent是指针域,存储该节点的双亲在数组中的下标.


b. 孩子表示法:把每个几点的孩子结点排列起来,以单链表作存储结构,则n个几点有n个孩子链表,如果是叶子结点则此单链表为空.然后n个头指针又组成一个线性表,采用顺序存储结构,存放进一个一维数组中.

i. 孩子链表的孩子结点:

ii. 表头数组的表头结点:

c. 孩子兄弟表示法:任一一棵树,它的结点的第一个孩子如果存在就使唯一的,它的右兄弟如果存在也是唯一的.因此,我们设置两个指针,分别指向该节点的第一个孩子和此节点的右兄弟.

Data是数据域,firstchild是第一个孩子结点的存储地址,rightsib是右兄弟结点的存储地址.


15… 存储结构的设计是一个非常灵活的过程.一个存储结构设计的是否合理,取决于基于该存储结构的运算是否适合,是否方便,时间复杂度好不好等

15. 二叉树

a. 二叉树(Binary Tree):是n(n≥0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根节点和两棵互不相交的,分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成.

b. 二叉树的特点:

i. 每个结点最多有两棵子树.
ii. 左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒.
iii. 即使树中只有一颗子树,也要区分它是左子树还是右子树

c. 二叉树的五种基本形态:

i. 空二叉树
ii. 只有一个根几点
iii. 根节点只有左子树
iv. 根节点只有右子树
v. 根节点既有左子树又有右子树

d. 特殊二叉树

i. 斜树:所有的结点都只有左子树的二叉树叫做左斜树,所有结点的只有右子树的二叉树叫做右斜树.

ii. 满二叉树:

1. 定义:在一棵二叉树中,如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树.
   
2. 满二叉树的特点:

a. 叶子只能出现在最下一层.
b. 非叶子结点的度一定是二.
c. 在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多

iii. 完全二叉树

1. 定义:对每一棵具有n个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i(1≤i≤n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树.
   

2. 完全二叉树的特点:

a. 叶子节点只能出现在最下两层;
b. 最下层的叶子一定集中在左部连续位置.
c. 倒数二层,若有叶子结点,一定在右部连续位置.
d. 如果结点度为1,则该节点只有左孩子,即不存在只有右子树的情况.
e. 同样结点数的二叉树,完全二叉树的深度最小.

e. 二叉树的性质
i. 在二叉树的第i层上之多有2i-1个结点(i≥1).
ii. 深度为K的二叉树之多有2k-1个结点(K≥1).
iii. 对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1.
iv. 具有n个结点的完全二叉树的深度为不大于[LOG2N]的值的整数+1.
v. 如果树对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为[log2n]+1)的结点按层序编号(从第1层到第[log2n]+1层,每层从左到右),对任一结点i(1≤i≤n)有(推导没看懂)

1. 如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是结点[i/2].
2. 如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子是结点2i.
3. 如果2i+1>n,则结点无右孩子;否则其右孩子结点2i+1.

16. 二叉树的存储结构

a. 顺序存储结构:为了避免空间浪费,一般用于完全二叉树

b. 二叉链表:二叉树每个结点最多有两个孩子,所以为它们设计一个数据域和两个指针域,分别存储左右孩子的指针.

18. 二叉树的遍历(traversing binary tree):是指从根结点触发,按照某种次序依次访问二叉树中所有结点,使得每个结点被访问依次且仅被访问依次.
19. 二叉树的遍历方法:

a. 前序遍历:若二叉树为空,则空操作返回,否则先访问根节点,然后前序遍历左子树,再前序遍历右子树.如图:遍历顺序为ABDGHCEIF.


b. 中序遍历:若树为空,则空操作返回,否则从根节点开始(注意不是先访问根节点),(我觉得应该说是从最左侧叶结点开始合适.)中序遍历根节点的左子树,然后是访问根节点,最后中序遍历右子树.图:GDHBAEICF


c. 后序遍历:若树为空,则空操作返回,否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树,最后访问的是访问根节点.遍历顺序:GHDBIEFCA


d. 层序遍历:若树为空,则空操作返回,否则从树的第一层,也就是根节点开始访问,从上而下逐层遍历,在同一层中,按从左到右的顺序对接点逐个访问.遍历顺序:ABCDEFGHI.

20. 推导遍历结果:重点

a. 性质:

i. 已知前序遍历序列和中序遍历序列,可以唯一确定一棵二叉树;
ii. 已知后序遍历序列和中序遍历序列,可以唯一确定一颗二叉树;

b. 注意:已知前序和后序遍历,是不能确定一棵二叉树的.