AVL树 - C语言实现（五）

1 AVL树

在二叉查找树中，为了防止某节点处出现左、右儿子树深度不平衡的情况，从而引出带有平衡条件的二叉查找树（AVL树）。

回顾树结构基本知识：

对任意的节点n，n的深度为：从根到节点n的唯一路径的长。n的高度为：从n到一片树叶的最长路径的长。

AVL树的平衡条件：每个节点的左子树和右子树的高度最多差1。

2 单旋、双旋

2.1 单旋

在插入一个节点后，只有那些从插入点到根节点路径上的节点的平衡性可能会改变。从插入点开始，沿着这条路径往上寻找到第一个不平衡的点（即最深的不平衡节点），接下来，我们将在该节点处平衡这棵树。

需进行单旋调整，情形一：

情形二：

特点：从不平衡点到插入点的走向一致

平衡操作：分析从不平衡点到插入点的这颗子树，根节点和树叶都是极值点，因此取中间节点（图中的节点7）为新的平衡点进行调整。

平衡之后的树：

2.2 双旋

需要进行双旋调整，情形一：

情形二：

特点：从不平衡点到插入点的走向不一致

平衡操作：分析从不平衡点到插入点的这颗子树，根节点和中间节点都是极值点，因此取插入点（图中的节点7）为新的平衡点（新的根）进行调整。

2.3 单旋、双旋规律

插入节点（记做i节点）后，找到第一个不平衡的节点（记做a节点），从a节点到i 节点的路径上，从a节点开始往下数，把包括a节点在内的连续三个节点，作为参与旋转的节点，并依次称为a、b、c节点。

对于单旋情形：由于a、c都是极值点，故取b作为新的子树的根节点。

对于双旋情形：由于a、b都是极值点，故取c作为新的子树的根节点。

3 C语言实现

3.1 Insert例程

typedef struct AvlNode *Position;
typedef struct AvlNode *AvlTree;
struct AvlNode{
    ElementType Element;
    AvlTree Left;
    AvlTree Right;
    int Height;//节点高度
}

/*
 * 获取节点高度
 */
static int
Height(Position P){
    if(P == NULL){
        return -1;
    }
    return P -> Height;
}

/**
 * 插入例程
 * 输入参数：插入元素，树根节点
 * 返回参数：树根节点
 */
AvlTree
Insert(ElementType X,AvlTree T){
    if(T == NULL){
        /*
         * 一般情况为递归调用的最后一层，执行插入操作
         */
        T = malloc(sizeof(struct AvlNode));
        if(T == NULL){
            //内存不足异常
        }else{
            T -> Element = X;
            T -> Left = T -> Right = NULL;
            T -> Height = 0;
        }
    }else if(X < T -> Element){
        /*
         * 往左边递归插入
         */
        T -> Left = Insert(X,T -> Left);
        //插入完成判断当前节点下的左子树与右子树的高度差，确定不平衡点
        if(Height(T -> Left) - Height(T -> Right) == 2){
            //中间节点（T的左边节点）大于插入点元素，单旋
            if(X < T -> Left -> Element){
                T = SingleRotateWithLeft(T);
            }else{
                T = dubbleRotateWithLeft(T);
            }
        }
    }else if(X > T -> Element){
        /*
         * 往右边递归插入
         */
        T -> Right = Insert(X,T -> Right);
        if(Height(T -> Right) - Height(T -> Left) == 2){
            if(X > T -> Right -> Element){
                T = SingleRotateWithRight(T);
            }else{
                T = dubbleRotateWithRight(T);
            }
        }
    }

    //返回T的高度，T的两儿子树中最大高度 + 1
    T -> Height = Max(Height(T -> Left),Height(T -> Right)) + 1；
    return T;
}

/*
 * 单旋
 */
static Position
SingleRotateWithLeft(Postion k1){
    Position k2 = k1 -> Left;
    k1 -> Left = k2 -> Right;
    k2 -> Right = k1;

    k1 -> Height = Max(Height(k1 -> Left),Height(k1 -> Right)) + 1;
    k2 -> Height = Max(Height(k2 -> Left),Height(k1)) + 1;

    return k2;
}

/*
 * 双旋分解成两次单旋
 */
static Position
DoubleRotateWithLeft(Postion k3){
    //对k3的左子树进行单旋操作
    k3 -> Left = SingleRotateWithRight(k3 -> Left);

    //对k3进行单旋
    return SingleRotateWithLeft(k3);
}

3.2 Delete例程

AvlTree
Delete(ElementType X,AvlTree T){
    Position temp;
    if(T == NULL){
        // 元素未找到异常
    }else if(X < T -> Element){
        T -> Left = Delete(X,T -> Left);
        // 判断目标节点是否不平衡
        if(Height(T -> Right) - Height(T -> Left) == 2){
            /* 若不平衡，则比较目标节点（T节点）的右节点的，左、右儿子树的高度 */
            /* 若右儿子树高度大于左儿子树高度，单旋操作 */
            /* 若左儿子树高度大于右儿子树高度，双旋操作 */
            /* 若左、右儿子树高度相等，单旋、双旋都可（默认单旋）*/
            if(Height(T -> Right -> Right) < Height(T -> Right -> Left) ){
                T = DoubleRotateWithRight(T);
            }else{
                T = SingleRotateWithRight(T);
            }
        }

    }else if(X > T -> Element){
        T -> Right = Delete(X,T -> Right);
        // 判断目标节点是否不平衡
        if(Height(T -> Left) - Height(T -> Right) == 2){
            if(Height(T -> Left -> Right) > Height(T -> Left -> Left) ){
                T = DoubleRotateWithLeft(T);
            }else{
                T = SingleRotateWithLeft(T);
            }
        }
    }else if((T -> Left != NULL) && (T -> Right != NULL)){
        /* 目标节点匹配到元素X，且有两个儿子树 */

        //找到目标节点右子树的最小节点
        temp = FindMin(T -> Right);
        //最小节点的元素覆盖目标节点元素
        T -> ELement = temp -> Element;
        //递归调用，删除右子树中的最小节点
        T -> Right = Delete(T -> Element,T -> Right);
        // 判断目标节点是否不平衡
        if(Height(T -> Left) - Height(T -> Right) == 2){
            if(Height(T -> Left -> Right) > Height(T -> Left -> Left) ){
                T = DoubleRotateWithLeft(T);
            }else{
                T = SingleRotateWithLeft(T);
            }
        }
    }else{
        /* 目标节点匹配到元素X，且有一个儿子树，或没有儿子树 */
        /* 目标节点最多只有一个儿子树，因此左子树高度为-1，右子树高度必为0 */
        /* 所以该目标节点处，不会发生不平衡情况 */

        temp = T;
        if(T -> Left == NULL){
            T = T -> Right;
        }else if(T -> Right == NULL){
            T = T -> Left;
        }
        free(temp);
    }
    // 计算高度
    T -> Height = Max(Height(T -> Left),Height(T -> Right)) + 1;
    return T;
}