EM算法 - 2 - EM算法在高斯混合模型学习中的应用

声明：

         1，本篇为个人对《2012.李航.统计学习方法.pdf》的学习总结，不得用作商用，欢迎转载，但请注明出处（即：本帖地址）。

         2，由于本人在学习初始时有很多数学知识都已忘记，所以为了弄懂其中的内容查阅了很多资料，所以里面应该会有引用其他帖子的小部分内容，如果原作者看到可以私信我，我会将您的帖子的地址付到下面。

         3，如果有内容错误或不准确欢迎大家指正。

         4，如果能帮到你，那真是太好了。

 

         在开始讲解之前，我要先给看这篇文章的你道个歉，因为《2012.李航.统计学习方法.pdf》中该节的推导部分还有些内容没有理解透彻，不过我会把我理解的全部写出来，而没理解的也会尽可能的把现有的想法汇总，欢迎你和我一起思考，如果你知道为什么的话，还请在评论区留言，对此，不胜感激。

         当然，若你对EM算法都一知半解，那还是去看一下我总结的“EM算法 - 1 - 介绍”吧，不然你连我问的疑问都看不懂。

         OK，mission start！

单高斯分布模型(GSM)

         首先，为了更好的说明高斯混合模型，这里先简单介绍下GSM，GSM看名字就知道，模型中只有一个高斯分布，只不过在处理问题时我们会遇到：只知道结果，但不知道能实现该结果的最佳高斯分布，即：不知道高斯分布的参数。

         这个问题解决起来很容易，只要用极大似然估计就可以了。

         从几何上讲，单高斯分布模型在二维空间应该近似于椭圆，在三维空间上近似于椭球。遗憾的是在很多分类问题中，属于同一类别的样本点并不满足“椭圆”分布的特性。这就引入了高斯混合模型。

高斯混合模型GMM

什么是GMM

         GMM简单的说就是从几个GSM中生成出来的。即，如果GSM的概率密度函数用

                   ，θ = (μ,σ²)

         表示的话，那GMM就是：

                  

         其中，a_k是系数，a_k >=0，

                  

         称为第k个分模型，其中θ_k= (μ_k,σ_k²)。

tip：     9.24式中的ak是某个高斯分布的权值，这就是说：样本集合Y中的各个元素一定是从这K个高斯分布中得到的，如果把所有高斯分布的重要性定义为1的话，那其中第k个高斯分布的重要性就是ak，其中a1+a2+...+aK = 1。          用另一种方式理解就是：所有的高斯分布在样本集合中被使用的概率一共是1， 于是第k个高斯分布被使用的概率就是ak，其中a1+a2+...+aK = 1。

为什么这么重视GMM，而不使用其他的分布？

         实际上不管是什么分布，只K取得足够大，这个分布模型就会变得足够复杂，就可以用来逼近任意连续的概率密度分布。只是因为高斯函数具有良好的计算性能，所GMM被广泛地应用。

GMM的EM算法的推导

         假设观测数据y1, y2,..., yN由GMM生成

                  

         其中，θ = (a1,a2, ..., ak; θ1, θ2, ..., θk)。

         我们的目标是用EM算法估计GMM的参数θ。

         1，明确隐变量，写出完全数据的对数似然函数

                  可以设想观测数据y_j，j = 1, 2,..., N，是这样产生的：首先依概率ak选择第k个高斯分布分模型φ(y |θk)；然后依第k个分模型的概率分布φ(y |θk)生成观测数据y_j。

                   这时观测数据yj是已知的，观测数据yj来自的第k个分模型是未知的(k =1, 2, .., K)，于是这个就是隐变量，我们用r_jk表示，其定义如下：

                           

                            PS：隐变量r_jk是0-1随机变量。

                  有了观测数据y_j及未观测数据r_jk，那么完全数据是

                            (y_j,r_j1, r_j2, ..., r_jk), j = 1, 2, ..., N

                   于是，可以写出完全数据的似然函数

                           

                   式中

                             （a式）

tip： 第一个等号：在满足θ的高斯分布中，第j样本点出现的概率是P(yj, rj1, rj2, ..., rjK | θ)，于是代表“所有的样本点出现的概率”的P(y,r | θ)就推出了第一个等号。 第二个等号：由9.27式可得，若第j个观测来自第k个分模型时，rjk=1，即，akφ(yj|θk)]^rjk = akφ(yj|θk)]，反之，akφ(yj|θk)]^rjk = 0。         于是将K个akφ(yj|θk)]^rjk连乘，就表示了第j个样本集合属于第k个分模型，即P(yj, rj1, rj2, ..., rjK | θ)的展开     后面两个等号是基本的数学知识，就不再解释了。

 

         那么，完全数据的对数似然函数就是

                  

         2，EM算法的E步：确定Q函数

                  

tip：     上面的第三个等号的推导，就是把（a式）中的nk带进去，然后把E放到里面。

疑问1： 在上一个总结中已经知道Q函数的定义是         于是，上面的Q函数是怎么对应到Q函数的定义的？     或者说怎么用Q函数的定义来推导出上面的式子，即：                    Q(θ, θ(i)) =  E[logP(y, r|θ)|y, θ(i)]                                      =  logP(y, r |θ)P(r | y, θ(i))                                      = ？？？

                  

                   是在当前模型参数下第j个观测数据来自第k个分模型的概率，称为分模型k对观测数据yi的响应度。

疑问2： 上面推导的第二个等号和第三个等号怎么得来的？

 

         最后将

                  

         代入9.28式，即得

                  

         3，确定EM算法的M步

                   这一步就简单了，Q函数已经知道，即9.29式，那对Q函数中的θ对应的各参数求偏导，并令其为0就可以了，其结果如下：

                           

         4，重复以上计算，知道对数似然函数不再有明显的变化为止。

GMM的EM算法的整理

         输入：

                   观测数据y1, y2,..., yn，高斯混合模型；

         输出：

                   高斯混合模型参数；

         解：

                  

例子（三硬币模型）

         假设有3枚硬币，分别记作A, B,C。这些硬币正面出现的概率分别是π，p和q。

         进行如下硬币实验：

                   先投掷硬币A，根据其结果选B或C，正面选硬币B，反面选C。

                   然后投掷选出的硬币，若投掷的结果是正面则记做1，反之记做0。

                   独立的重复n此实验(这里，n=10)，观测结果如下：

                            1,1,0,1,0,0,1,0,1,1

         假设只能观测到投掷硬币的结果，不能观测投掷硬币的过程。问：如何估计三硬币正面出现的概率，即，三硬币模型的参数。

         解：

                   1，我们先整理下思路。

                   三硬币模型可以写作

                           

                            其中，θ = (π, p, q)；y是观察到的硬币最终的正反面；Z是硬币A的投掷结果，是没有未观察到的，是隐变量。

                   然后将观测数据表示为Y =(Y1, Y2, ..., Yn)^T，未观测数据表示为Z = (Z1, Z2, ..., Zn)^T，则观测数据的似然函数为

                           

                   即

                           

                   然后要求是求模型参数θ的极大似然估计。

                   那么我们就利用上面的算法。

                   先选取参数的初值，记做θ⁽⁰⁾= (π⁽⁰⁾, p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)，然后不停的迭代下面的E步和M步计算参数的估计值，直至收敛。

                   假设第i次迭代后参数的估计值为θ⁽ⁱ⁾= (π⁽ⁱ⁾, p⁽ⁱ⁾, q⁽ⁱ⁾)，则EM算法的第i+1次迭代如下。

                   E步：计算在模型参数θ⁽ⁱ⁾下观测数据yj来自投掷硬币B的概率

                           

                   M步：计算模型参数的新估计值

                           

                   2，开始进行数字计算

                   假设模型参数的初值为

                            π⁽⁰⁾ = 0.5, p⁽⁰⁾ = 0.5, q⁽⁰⁾ = 0.5

                   第一次迭代，由9.5式，对yj = 1与yj = 0均有μ_j⁽¹⁾ = 0.5

                            利用迭代公式9.6 ~ 9.8，得到

                                     π⁽¹⁾ = 0.5, p⁽¹⁾ = 0.6, q⁽¹⁾ = 0.6

                   第二次迭代，由9.5式得μ_j⁽²⁾ = 0.5

                            利用迭代公式9.6 ~9.8，得到

                                     π⁽²⁾ = 0.5, p⁽²⁾ = 0.6, q⁽²⁾ = 0.6

                   第二次迭代时参数就不再变化了，因此迭代停止，于是模型参数θ的极大似然估计就的出来了，即

                                     π = 0.5, p =0.6, q = 0.6

tip： 如果取初值π(0) = 0.4, p(0) = 0.6, q(0) = 0.7，那么得到的模型参数的极大似然估计是π = 0.4064, p = 0.5368, q = 0.6432。 这就是说，EM算法与初值的选择有关，选择不同的初始值可能得到不同的参数估计值。

 

 

 

 

参考资料：

         http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2624882.html