哈希表及相关
设所有可能出现的关键字集合记为U(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为K（|K|比|U|小得多）。 |K|是集合K中元素的个数。
散列方法是使用函数hash将U映射到表T[0..m-1]的下标上（m=O(|U|)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时间内就可完成查找。
其中：
① hash：U→{0，1，2，…，m-1} ，通常称h为散列函数(Hash Function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销。
② T为散列表(Hash Table)。
③ hash(K i)(K i∈U)是关键字为K i结点存储地址(亦称散列值或散列地址)。
④ 将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为散列(Hashing).
比如：有一组数据包括用户名字、电话、住址等，为了快速的检索，我们可以利用名字作为关键码，hash规则就是把名字中每一个字的拼音的第一个字母拿出来，把该字母在26个字母中的顺序值取出来加在一块作为改记录的地址。比如张三，就是Z+S＝26+19＝45。就是把张三存在地址为45处。
但是这样存在一个问题，比如假如有个用户名字叫做：周四，那么计算它的地址时也是Z+S＝45，这样它与张三就有相同的地址，这就是 冲突，也叫作 碰撞！
冲突：两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(Synonym)。
冲突基本上不可避免的，除非数据很少，我们只能采取措施尽量避免冲突，或者寻找解决冲突的办法。 影响冲突的因素
冲突的频繁程度除了与h相关外，还与表的填满程度相关。
设m和n分别表示表长和表中填人的结点数，则将α=n/m定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大，表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。
散列函数的构造方法：
1、散列函数的选择有两条标准：简单和均匀。
简单指散列函数的计算简单快速；
均匀指对于关键字集合中的任一关键字，散列函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说，散列函数能将子集K随机均匀地分布在表的地址集{0，1，…，m-1}上，以使冲突最小化。
2、常用散列函数
（1）直接定址法：比如在一个0～100岁的年龄统计表，我们就可以把年龄作为地址。
（2） 平方取中法
具体方法：先通过求关键字的平方值扩大相近数的差别，然后根据表长度取中间的几位数作为散列函数值。又因为一个乘积的中间几位数和乘数的每一位都相关，所以由此产生的散列地址较为均匀。
（3）除留余数法
取关键字被某个不大于哈希表表长m的数p除后所得余数为哈希地址。
该方法的关键是选取m。选取的m应使得散列函数值尽可能与关键字的各位相关。m最好为素数（4） 随机数法选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的散列地址，即
h(key)=random(key)
其中random为伪随机函数，但要保证函数值是在0到m-1之间。
处理冲突的方法：
１、开放定址法
Hi=(H(key)+di) MOD m i=1,2,...,k(k<=m-1)
其中m为表长，di为增量序列
如果di值可能为1,2,3,...m-1，称线性探测再散列。
如果di取值可能为1,-1,2,-2,4,-4,9,-9,16,-16,...k*k,-k*k(k<=m/2)
称二次探测再散列。
如果di取值可能为伪随机数列。称伪随机探测再散列。
开放地址法堆装填因子的要求开放定址法要求散列表的装填因子α≤l，实用中取α为0.5到0.9之间的某个值为宜。
②二次探查法(Quadratic Probing)
二次探查法的探查序列是：
h i=(h(key)+i*i)％m 0≤i≤m-1 //即d i=i 2
即探查序列为d=h(key)，d+1 2，d+2 2，…，等。
该方法的缺陷是不易探查到整个散列空间。
③双重散列法(Double Hashing)
该方法是开放定址法中最好的方法之一，它的探查序列是：
h i=(h(key)+i*h1(key))％m 0≤i≤m-1 //即d i=i*h1(key)
即探查序列为：
d=h(key)，(d+h1(key))％m，(d+2h1(key))％m，…，等。
该方法使用了两个散列函数h(key)和h1(key)，故也称为双散列函数探查法。
2、 拉链法
拉链法解决冲突的方法
拉链法解决冲突的做法是：将所有关键字为同义词的结点链接在同一个单链表中。若选定的散列表长度为m，则可将散列表定义为一个由m个头指针组成的指针数组T[0..m-1]。凡是散列地址为i的结点，均插入到以T[i]为头指针的单链表中。T中各分量的初值均应为空指针。在拉链法中，装填因子α可以大于1，但一般均取α≤1。
3、建立一个公共溢出区
假设哈希函数的值域为[0,m-1],则设向量HashTable[0..m-1]为基本表，另外设立存储空间向量OverTable[0..v]用以存储发生冲突的记录。
性能分析
插入和删除的时间均取决于查找，故下面只分析查找操作的时间性能。
虽然散列表在关键字和存储位置之间建立了对应关系，理想情况是无须关键字的比较就可找到待查关键字。但是由于冲突的存在，散列表的查找过程仍是一个和关键字比较的过程，不过散列表的平均查找长度比顺序查找、二分查找等完全依赖于关键字比较的查找要小得多。
（1）查找成功的ASL
散列表上的查找优于顺序查找和二分查找。
（2） 查找不成功的ASL
对于不成功的查找，顺序查找和二分查找所需进行的关键字比较次数仅取决于表长，而散列查找所需进行的关键字比较次数和待查结点有关。因此，在等概率情况下，也可将散列表在查找不成功时的平均查找长度，定义为查找不成功时对关键字需要执行的平均比较次数。
注意：
①由同一个散列函数、不同的解决冲突方法构造的散列表，其平均查找长度是不相同的。
②散列表的平均查找长度不是结点个数n的函数，而是装填因子α的函数。因此在设计散列表时可选择α以控制散列表的平均查找长度。
③ α的取值
α越小，产生冲突的机会就小，但α过小，空间的浪费就过多。只要α选择合适，散列表上的平均查找长度就是一个常数，即散列表上查找的平均时间为O(1)。
④ 散列法与其他查找方法的区别
除散列法外，其他查找方法有共同特征为：均是建立在比较关键字的基础上。其中顺序查找是对无序集合的查找，每次关键字的比较结果为"="或"!="两种可能，其平均时间为O(n)；其余的查找均是对有序集合的查找，每次关键字的比较有"="、"<"和">"三种可能，且每次比较后均能缩小下次的查找范围，故查找速度更快，其平均时间为O(lgn)。而散列法是根据关键字直接求出地址的查找方法，其查找的期望时间为O(1)。
例子：例子：选取哈希函数H(K)=(3K)%11,用线性探测再散列法处理冲突。
试在0～10的散列地址空间中，对关键序列22,41,53,46,30,13,01,67构造哈希表，并求等概率情况下查找不成功的平均查找长度ASL。
/*--------------------------------------------------------
* hashtable.cpp * Describe : example for hashing * author : JackRain * date : 08-13-2005 * E_mail : [email protected] * Test with C-Free3.5
---------------------------------------------------------*/
#include
<
iostream
>
#define
addr_scope 11
int
hash(
int
key)
{
return(key*3)%11;}
typedef
int
KeyType,DataType,Status;
//
typedef int DataType;
//
typedef int Status;
typedef
struct
{ KeyType key; // DataType data; Status stat; //1 = over; 0}
Element;
class
HashTable
{ public: HashTable(int n); ~HashTable(); bool insert(int e); bool search(int e, int *pos); void display(); private: Element *elem; int hash_size; int dataNum;}
;HashTable::HashTable(
int
n):hash_size(n),dataNum(
0
)
{ // hash_size = n; // dataNum = 0; elem = new Element[n]; for(int i=0;i < n;i++)
{
elem[i].key = 0; elem[i].stat = 0;
}}
HashTable::
~
HashTable()
{ delete[] elem;}
bool
HashTable::insert(
int
e)
{ if(dataNum == hash_size) { cout<<"OverFlow!"<<endl; return false; } int pos = hash(e),pos1;pos1 = pos;
for(int i = 1; i < hash_size; i ++) { if(elem[pos].stat==0) { //success elem[pos].key = e; elem[pos].stat = 1; dataNum++; cout<<"Insert Value Success!The value is:"<<e<<";the addr is:"<<pos<<endl; return true; } pos = (pos1+i)%hash_size; } cout<<"Insert Value Faliure"<<endl; return false;}
bool
HashTable::search(
int
key,
int
*
pos)
{ int hashvalue = hash(key); for(int i = 1; i< hash_size; i ++) { if(elem[hashvalue].stat==1&&elem[hashvalue].key == key) { cout<<"Search Success!Search Nums="<<i<<endl; *pos = hashvalue; return true; } hashvalue = (hashvalue+1)%hash_size; } cout<<"Not found"<<endl; return false;}
void
HashTable::display()
{ if(dataNum == 0) { cout<<"The Table is NULL"<<endl; return; } cout<<"************HashTable*************"<<endl; cout<<"addr value"<<endl; for(int i = 0; i<hash_size;i++) { if(elem[i].stat == 0) continue; else cout.width(4); cout<<elem[i].key; cout<<" "; cout.width(5); cout<<i<<endl; } cout<<"************************************"<<endl;}
int
main()
{ int array[]={22, 41, 53, 46, 30,13, 01,67}; HashTable hTable(addr_scope); for(int i =0;i < 8;i++) hTable.insert(array[i]); hTable.display(); return 0;}
查找不成功的平均查找长度ASL＝（2+1+8+7+6+5+4+3+2+1+1）/11≈3.63