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卡尔曼滤波的推导

与尔共勉

1. 状态方程

其中为卡尔曼滤波估计值，也就是我们的目的值，我们要估计的也就是这个值了

为由K时刻得到K+1时刻的值，为系统的输入乘上一个系数；

A为转移矩阵，为噪声，服从

2. 测量方程

为测量误差，其服从正态分布，H为测量矩阵

3. 误差定义

这里为真实值，为卡尔曼估计值，我们定义这个误差的目的，也就是滤波算法的目的，就是使该误差最小；

所以，我们需要求，使这个值最小

那卡尔曼估计值是多少呢？

其中是卡尔曼滤波的增益；

4. 另一个误差定义

，这个误差定义为真实值和一步预测值的差，一步预测值可以通过状态方程计算出来；

我们仿照3，也可以定义

5. 针对3式P展开计算

因为：

卡尔曼滤波的推导_第1张图片

所以：卡尔曼滤波的推导_第2张图片

上式的直接利用了4式的定义；

6. 求导，最小均方差估计

卡尔曼滤波的推导_第3张图片

然后，就得到了卡尔曼增益的表达式了

7. 求

卡尔曼滤波的推导_第4张图片

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