拉格朗日插值法(Lagrange)

拉格朗日插值法是基于基函数的插值方法，插值多项式可以表示为：

其中称为 i 次基函数

Matlab中拉格朗日插值法函数为:Language

功能：求已知点数据点的拉格朗日多项式

调用格式：f=Lagrange(x,y) 或者 f ’=Lagrange(x,y,x0)

其中，x为已知数据点的x坐标向量

           y为已知数据点的y坐标向量

           x0为插值点的x坐标

           f ’为求得的拉格朗日多项式或x0处的插值

Lagrange.m

function f = Lagrange(x,y,x0)
%求已知数据点的拉格朗日多项式
%x是已知数据点的x坐标向量
%y是已知数据点的y坐标向量
%x0为插值点的x坐标
%f为求得的拉格朗日多项式或x0出的插值
syms t;
if(length(x)==length(y))
    n=length(x);
else
    disp('x和y的维数不相等！');
    return;
end                        %检错

f=0.0;
for (i=1:n)
    l=y(i);
    for (j=1:i-1)
        l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
    end;
    for(j=i+1:n)
        l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));%计算拉格朗日基函数
    end;
    
    f=f+l;       %计算拉格朗日插值函数
    simplify(f);    %化简
    
    if(i==n)
        if(nargin==3)
            f=subs(f,'t',x0);   %计算插值点的函数值.subs是替换函数，吧x0用t替换
        else
            f=collect(f);          %将插值多项式展开
            f=vpa(f,6);            %将插值多项式的系数化成6位精度的小数
        end
    end
end

LagrangeInsert.m

x=[1 1.2 1.8 2.5 4];
y=[0.8415 0.9320 0.9738 0.5985 -0.7568];
f=Lagrange(x,y);
f=Lagrange(x,y,1.6)

x1=0:2*pi;
y1=sin(x1);
x2=0:0.5:2*pi;
y2=Lagrange(x1,y1,x2);
plot(x1,y1,'b:',x2,y2,'r')