论文笔记：Noise2Noise: Learning Image Restoration without Clean Data

Introduction

这是ICML2018的一篇论文，其由来自英伟达、阿尔托大学和 MIT 的研究者联合发表。该文章提出了一个很有意思的观点：在某些常见情况下，网络可以学习恢复信号而不用“看”到“干净”的信号，且得到的结果接近或相当于使用“干净”样本进行训练。而这项结论来自于一个简单的统计学上的观察：我们在网络训练中使用的损失函数，其仅仅要求目标信号（ground truth）在某些统计值上是“干净”的，而不需要每个目标信号都是“干净”的。

Theoretical background

先看一种简单的情况，假设我们对某个物理量（如房间的温度）多次测量，得到一系列不可靠的测量值（$y_1,y_2,...$）。一种估计真实值的通用方法是找到一个数$z$，使其与这些测量值有最小的平均偏差，即优化下面损失函数：
$$\arg \underset{z}{\min }{\mathbb{E}}_y\{L(z,y)\}$$

对于$L_2$损失$L(z,y)=(z-y{)}^2$，该损失函数的最优解在测量值的算数平均值(期望)处取到：
$$z={\mathbb{E}}_y\{y\}$$

对于$L_1$损失$L(z,y)=|z-y|$，该损失函数的最优解在测量值的中值处取到：
$$z=median\{y\}$$

对于$L_0$损失$L(z,y)=|z-y{|}_0$，该损失函数的最优解近似在测量值的众数处取到：
$$z=mode\{y\}$$

从统计学角度，这些通用的损失函数都可以解释为似然函数的负对数，而对这些损失函数的优化过程可以看做为最大似然估计。
训练神经网络回归器是这种点估计过程的推广。已知一系列输入-目标对$(x_i,y_i)$，典型的网络训练形式是优化下列目标函数：
$$\arg \underset{\theta }{\min }{\mathbb{E}}_{(x,y)}\{L(f_{\theta }(x),y)\}$$

其中，网络函数为$f_{\theta }(x)$，$\theta$为网络参数。
如果将整个训练任务分解为几个训练步骤，根据贝叶斯定理可将上述目标函数变为：
$$\arg \underset{\theta }{\min }{\mathbb{E}}_x\{{\mathbb{E}}_{y|x}\{L(f_{\theta }(x),y)\}\}$$

则网络训练的目标函数与前面所说的标量损失函数有相同的形式，也具有相同的特性。

实际上，通过上述目标函数，在有限数量的输入-目标对上训练回归器的过程隐含了一点：输入与目标的关系并不是一一对应的，而是一个多值映射问题。比如对于一个超分辨问题来说，对于每一个输入的低分辨图像，其可能对应于多张高分辨图像，或者说多张高分辨图像的下采样可能对应同一张图像。而在高低分辨率的图像对上，使用$L_2$损失函数训练网络，网络会学习到输出所有可能结果的平均值。

综上所述，$L_2$最小化的一个看起来似乎微不足道的属性是，如果我们用一个期望与目标相匹配的随机数替换目标，那么估计值将保持不变。因此，如果输入条件目标分布$p(y|x)$被具有相同条件期望值的任意分布替换，则最佳网络参数$\theta$也保持不变。这意味着，可以在不改变网络训练结果的情况下，将神经网络的训练目标添加上均值为0的噪声。则网络目标函数可以变为
$$\arg \underset{\theta }{\min }\sum _{i}L(f_{\theta }({\hat{x}}_i),{\hat{y}}_i)$$

其中，输出和目标都是来自于有噪声的分布，且满足$\mathbb{E}\{{\hat{y}}_i|{\hat{x}}_i\}=y_i$

当给定的训练数据无限多时，该目标函数的解与原目标函数的相同。当训练数据有限多时，估计的均方误差等于目标中的噪声的平均方差除以训练样例的数目，即：
$${\mathbb{E}}_{\hat{y}}{\left[\frac{1}{N}\sum _i{y}_i-\frac{1}{N}\sum _i{\hat{y}}_i\right]}^2=\frac{1}{N}\left[\frac{1}{N}\sum _{i}Var(y_i)\right]$$

因此，随着样本数量的增加，误差接近于零。即使数据量有限，估计也是无偏的，因为它在期望上是正确的。

在许多图像复原任务中，输入的被污染数据的期望就是我们要恢复的“干净”的目标，因此只要对每张被污染的图像观察两次，即输入数据集也是目标数据集，就可以实现对网络的训练，而不需要获得“干净”的目标。
$L_1$损失可以得到目标的中值，这意味着网络可以被训练用来修复有显著异常内容的图像（最高可达50%），而且也仅仅需要成对的被污染图像。

Practical experiments

加性高斯白噪声

一般加性高斯白噪声是零均值的，所以文章采用$L_2$损失训练网络。
文章使用开源图像库的图像，对每张图像随机添加方差为$\sigma \in [0,50]$的噪声，网络在去噪过程中需要估计噪声幅度，整个过程是盲去噪过程。

从去噪结果可以看出，使用“干净”的目标和使用有噪声的目标有相似的收敛速度和去噪质量。如果进一步使用不同大小的高斯滤波器模糊有噪声的目标图像，可以观察到低频噪声会更顽固，需要更多的迭代次数，但是对于所有情况来说，网络都收敛于相似的去噪质量。

其他合成噪声

泊松噪声

泊松噪声和高斯噪声一样是零均值的，但是更难去除，因为其是信号相关的。文章使用$L_2$损失，且在训练过程中变化噪声幅度$\lambda \in [0,50]$。
需要说明的是，图像饱和截止区域是不满足零均值假设，因为在这些区域部分噪声分布被丢掉了，而剩余部分的期望不再是零了，所以在这些区域不能得到好的效果。

乘性伯努利噪声

即相当于对图像进行随机采样，未采样到的点像素值为0。被污染像素的可能性记为$p$，在文章训练过程中，变化$p\in [0.0,0.95]$，而在测试中$p=0.5$。而得到的结果是使用被污染的目标比“干净”目标得到PSNR值还要高一点，这可能是由于被污染的目标在网络输出中有效地应用了dropout技术的结果。

文字去除

网络使用独立的被污染输入和目标对进行训练，被污染像素的可能性$p$在训练过程中为$[0.0,0.5]$，而在测试中$p=0.25$。且在训练中使用$L_1$损失作为损失函数，从而去除异常值。

随机值脉冲噪声

即对于每一个位置的像素都有可能性$p$被$[0,1]$的值随机替代。在这种情况下，平均值和中值都能产生好的结果，其理想的输出应该是像素值分布的众数。为了近似寻找众数，文章使用退火版本的“$L_0$损失”函数，其定义为$(|f_{\theta }(\hat{x})-\hat{y}|+ϵ{)}^{\gamma }$，其中$ϵ=10^{-8}$，在训练时$\gamma$从2到0线性下降。训练时输入和目标图像被污染像素的可能性为$[0,0.95]$。

除此之外，文章还在Monte Carlo渲染和MRI方面做了测试，均得到了不错的效果。
该文章的意义在于，在现实世界中想要获得清晰的训练数据往往是很困难的，而这篇文章提供了一种新的思路解决这个问题。文章也提到了，天下没有免费的午餐，该方法也无法学习获取输入数据中不存在的特性，但这同样适用于清晰目标的训练。

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