大量数据去重：Bitmap和布隆过滤器(Bloom Filter)

5TB的硬盘上放满了数据，请写一个算法将这些数据进行排重。如果这些数据是一些32bit大小的数据该如何解决？如果是64bit的呢？

在面试时遇到的问题，问题的解决方案十分典型，但对于海量数据处理接触少的同学可能一时也想不到什么好方案。介绍两个算法，对于空间的利用到达了一种极致，那就是Bitmap和布隆过滤器(Bloom Filter)。

Bitmap算法

在网上并没有找到Bitmap算法的中文翻译，在《编程珠玑》中有提及。与其说是算法，不如说是一种紧凑的数据存储结构。其实如果并非如此大量的数据，有很多排重方案可以使用，典型的就是哈希表。

public int[] removeDuplicates(int[] array) {
	int index = 0;
	int[] newArray = new int[array.length];
    Map<Integer, Boolean> maps = new LinkedHashMap<Integer, Boolean>();
    for(int num : array) {
        if(!maps.contains(num)) {
	        newArray[index++] = num;
            maps.put(num, true);
        }
    }

    return newArray;
}

实际上，哈希表实际上为每一个可能出现的数字提供了一个一一映射的关系，每个元素都相当于有了自己的独享的一份空间，这个映射由散列函数来提供（这里我们先不考虑碰撞）。实际上哈希表甚至还能记录每个元素出现的次数，这样的数据结构完成这个任务有点“大材小用”了。

我们拆解一下我们的需求：

1. 集合中每个元素（示例中是int）有一个独享的空间
2. 找到一个到这个空间的映射方法

这个空间要多大？对于我们的问题来说，一个boolean就够了，或者说，1个bit就够了，我们只想知道某个元素出现过没有。如果为每个所有可能的值分配1个bit，32bit的int所有可能取值需要内存空间为：

$$2^{32}bit=2^{29}Byte=512MB$$

那怎么样完成这个映射呢？其实就是Bitmap所要完成的工作了。如果我们把整型0x01、0x02、…、0x08的空间依次映射到一个Byte上，每个bit就代表这个int值是否出现过，初值为0（false）。

若扩展到整个int取值域，申请一个byte[]即可，示例代码如下：

public static final int _1MB = 1024 * 1024;
//每个byte记录8bit信息,也就是8个数是否存在于数组中
public static byte[] flags = new byte[ 512 * _1MB ];


public static void main(String[] args) {
	//待判重数据
    int[] array = {255, 1024, 0, 65536, 255};

    int index = 0;
    for(int num : array) {
	    if(!getFlag(num)) {
	        //未出现的元素
	        array[index] = num;
	        index = index + 1;
            //设置标志位
            setFlag(num);
            System.out.println("set " + num);
        } else {
	        System.out.println(num + " already exist");
	    }
    }
}

public static void setFlag(int num) {
	//使用每个数的低三位作为byte内的映射
    //例如: 255 = (11111111)
    //低三位(也就是num & (0x07))为(111) = 7, 则byte的第7位为1, 表示255已存在
	flags[num >> 3] |= 0x01 << (num & (0x07));
}

public static boolean getFlag(int num) {
	return (flags[num >> 3] >> (num & (0x07)) & 0x01) == 0x01;
}

其实，就是按int从小到大的顺序依次摆放到byte[]中，仅涉及到一些除以2的整次幂和对2的整次幂取余的位操作小技巧。鉴于评论区对位操作有疑问，下面基于java.util.BitSet重写了一下上面的代码的关键函数setFlag和getFlag。

static BitSet seen = new BitSet((1 << 31) - 1);
public static void setFlag(int num) {
	seen.set(num);
}
public static boolean getFlag(int num) {
	return set.get(num);
}

很显然，对于小数据量、数据取值很稀疏，上面的方法并没有什么优势，但对于海量的、取值分布很均匀的集合进行去重，Bitmap极大地压缩了所需要的内存空间。于此同时，还额外地完成了对原始数组的排序工作。缺点是，Bitmap对于每个元素只能记录1bit信息，如果还想完成额外的功能，恐怕只能靠牺牲更多的空间、时间来完成了。

布隆过滤器（Bloom Filter）

然而Bitmap不是万能的，如果数据量大到一定程度，如开头写的64bit类型的数据，还能不能用Bitmap？我们来算一算：

$$2^{64}bit=2^{61}Byte=2048PB=2EB$$

EB（Exabyte，艾字节）这个计算机科学中统计数据量的单位有多大，有兴趣的小伙伴可以查阅下资料。这个量级的Bitmap，已经不是人类硬件所能承担的了。我相信谁也不会想用集群去计算这么一个问题吧¹？所以Bitmap的好处在于空间复杂度不随原始集合内元素的个数增加而增加，而它的坏处也源于这一点——空间复杂度随集合内最大元素增大而线性增大。

所以接下来，我们要引入另一个著名的工业实现——布隆过滤器（Bloom Filter）。如果说Bitmap对于每一个可能的整型值，通过直接寻址的方式进行映射，相当于使用了一个哈希函数，那布隆过滤器就是引入了$k(k>1)$个相互独立的哈希函数，保证在给定的空间、误判率下，完成元素判重的过程。下图中是$k=3$时的布隆过滤器。

$x,y,z$经由哈希函数映射将各自在Bitmap中的3个位置置为1，当$w$出现时，仅当3个标志位都为1时，才表示$w$在集合中。图中所示的情况，布隆过滤器将判定$w$不在集合中。

那么布隆过滤器的误差有多少？我们假设所有哈希函数散列足够均匀，散列后落到Bitmap每个位置的概率均等。Bitmap的大小为$m$、原始数集大小为$n$、哈希函数个数为$k$：

1. 1个散列函数时，接收一个元素时Bitmap中某一位置为0的概率为：
   $$1-\frac{1}{m}$$
2. $k$个相互独立的散列函数，接收一个元素时Bitmap中某一位置为0的概率为：
   $$(1-\frac{1}{m}{)}^k$$
3. 假设原始集合中，所有元素都不相等（最严格的情况），将所有元素都输入布隆过滤器，此时某一位置仍为0的概率为：
   $$(1-\frac{1}{m}{)}^{nk}$$
   某一位置为1的概率为：
   $$1-(1-\frac{1}{m}{)}^{nk}$$
4. 当我们对某个元素进行判重时，误判即这个元素对应的$k$个标志位不全为1，但所有$k$个标志位都被置为1，误判率$\epsilon$约为：
   $$\epsilon \approx [1-(1-\frac{1}{m}{)}^{nk}{]}^k$$
   这个误判率应当比实际值大，因为将判断正确的情况也算进去了。根据著名极限$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$可以得到：
   $$\epsilon \approx [1-e^{-\frac{nk}{m}}{]}^k$$
   $\epsilon$得到最优解²，当且仅当：
   $$k=\frac{m}{n}\ln 2\approx 0.7\frac{m}{n}$$
   此时，误判率$\epsilon$与数集大小和
   $$\epsilon \approx (1-e^{-\ln 2}{)}^{ln2\frac{m}{n}}=0.5^{ln2\frac{m}{n}}=0.5^k$$

回到我们的问题中，有趣的是由于硬盘空间是限制死的，集合元素个数$n$的大小反而与单个数据的比特数成反比，数据长度为64bit时，

$$n=\frac{5TB}{64bit}=\frac{5\times 2^{40}Byte}{8Byte}\approx 2^{39}$$

若以$m=8n，k=0.7\frac{m}{n}=5.6$计算，Bitmap集合的大小为$2^{42}bit=2^{39}Byte=512GB$，此时的$\epsilon =0.5^{5.6}\approx 0.02$。并且要知道，以上计算的都是误差的上限。当输入元素个数逼近集合总元素$n$时，误差率便逐渐逼近这个上界。

布隆过滤器通过引入一定错误率，使得海量数据判重在可以接受的内存代价中得以实现。从上面的公式可以看出，随着集合中的元素不断输入过滤器中($n$增大)，误差将越来越大。但是，当Bitmap的大小$m$（指bit数）足够大时，比如比所有可能出现的不重复元素个数还要大10倍以上时，错误概率是可以接受的。相比于单纯的bitmap，这个算法跳出了空间复杂度对待判元素值域的依赖，转而依赖总元素个数，这是一个更加工程可实现的算法——前者不管你的数集有多大，所需要的内存空间是一定的；后者，数集越大，想要达到相同误判率，所需要的内存空间就越大。

最后我们所要做的，就是实现一个布隆过滤器，然后利用它对硬盘上的5TB数据一一判重，并写回硬盘中。这其中可能涉及到利用读写的buffer，待有时间补上。

附录

这里有一个google实现的布隆过滤器，我们来看看它的误判率：

import com.google.common.hash.BloomFilter;
import com.google.common.hash.Funnels;
import java.util.HashSet;
import java.util.Random;

public class testBloomFilter {

    static int sizeOfNumberSet = Integer.MAX_VALUE >> 4;

    static Random generator = new Random();

    public static void main(String[] args) {

        int error = 0;
        HashSet<Integer> hashSet = new HashSet<Integer>();
        BloomFilter<Integer> filter = BloomFilter.create(Funnels.integerFunnel(), sizeOfNumberSet);

        for(int i = 0; i < sizeOfNumberSet; i++) {
            int number = generator.nextInt();
            if(filter.mightContain(number) != hashSet.contains(number)) {
                error++;
            }
            filter.put(number);
            hashSet.add(number);
        }

        System.out.println("Error count: " + error + ", error rate = " + String.format("%f", (float)error/(float)sizeOfNumberSet));
    }
}

在这个实现中，Bitmap的集合$m$、输入的原始数集合$n$、哈希函数$k$的取值都是按照上面最优的方案选取的，默认情况下保证误判率$\epsilon =0.5^k<0.03\approx 0.5^5$，因而此时$k=5$。

/**
 * Creates a {@link BloomFilter BloomFilter} with the expected number of
 * insertions and a default expected false positive probability of 3%.
 */
public static <T> BloomFilter<T> create(Funnel<T> funnel, int expectedInsertions /* n */) {
    return create(funnel, expectedInsertions, 0.03); // FYI, for 3%, we always get 5 hash functions
}

而还有一个很有趣的地方是，实际使用的却并不是5个哈希函数。实际进行映射时，而是分别使用了一个64bit哈希函数的高、低32bit进行循环移位。注释中包含着这个算法的论文“Less Hashing, Same Performance: Building a Better Bloom Filter”，论文中指明其对过滤器性能没有明显影响。很明显这个实现对于$m>2^{32}$时的支持并不好，因为当大于$2^{31}-1$的下标在算法中并不能被映射到。

enum BloomFilterStrategies implements BloomFilter.Strategy {
  /**
   * See "Less Hashing, Same Performance: Building a Better Bloom Filter" by Adam Kirsch and
   * Michael Mitzenmacher. The paper argues that this trick doesn't significantly deteriorate the
   * performance of a Bloom filter (yet only needs two 32bit hash functions).
   */
  MURMUR128_MITZ_32() {
    @Override public <T> boolean put(T object, Funnel<? super T> funnel,
        int numHashFunctions, BitArray bits) {
      long hash64 = Hashing.murmur3_128().hashObject(object, funnel).asLong();
      int hash1 = (int) hash64;
      int hash2 = (int) (hash64 >>> 32);
      boolean bitsChanged = false;
      for (int i = 1; i <= numHashFunctions; i++) {
        int nextHash = hash1 + i * hash2;
        if (nextHash < 0) {
          nextHash = ~nextHash;
        }
        bitsChanged |= bits.set(nextHash % bits.bitSize());
      }
      return bitsChanged;
    }

    @Override public <T> boolean mightContain(T object, Funnel<? super T> funnel,
        int numHashFunctions, BitArray bits) {
      long hash64 = Hashing.murmur3_128().hashObject(object, funnel).asLong();
      int hash1 = (int) hash64;
      int hash2 = (int) (hash64 >>> 32);
      for (int i = 1; i <= numHashFunctions; i++) {
        int nextHash = hash1 + i * hash2;
        if (nextHash < 0) {
          nextHash = ~nextHash;
        }
        if (!bits.get(nextHash % bits.bitSize())) {
          return false;
        }
      }
      return true;
    }
  };
  ...
}

---

1. 勘误：原谅我当年的孤陋寡闻，工业还有另一个著名实现是Map Reduce，正是用集群方案来解决“海量数据处理”的问题。 ↩︎

2. WikiPedia - Bloom Filter ↩︎