[LOJ2541][PKUWC2018]猎人杀-分治FFT-容斥原理-概率与期望

猎人杀

题目描述

猎人杀是一款风靡一时的游戏“狼人杀”的民间版本，他的规则是这样的：
一开始有 n n 个猎人，第 i i 个猎人有仇恨度 wi w i ，每个猎人只有一个固定的技能：死亡后必须开一枪，且被射中的人也会死亡。

然而向谁开枪也是有讲究的，假设当前还活着的猎人有 [i1…im] [ i 1 … i m ] ，那么有 wik∑j=1mwij w i k ∑ j = 1 m w i j 的概率是向猎人 ik i k 开枪。

一开始第一枪由你打响，目标的选择方法和猎人一样（即有 wi∑j=1nwj w i ∑ j = 1 n w j 的概率射中第 i i 个猎人）。由于开枪导致的连锁反应，所有猎人最终都会死亡，现在 1 1 号猎人想知道它是最后一个死的的概率。

答案对 998244353 998244353 取模。

输入格式

第一行一个正整数 n n

第二行 n n 个正整数，第 i i 个正整数表示 wi w i 。

输出格式

输出答案。

样例

样例输入
3
1 1 2

样例输出
915057324

样例解释
答案是 24×12+14×23=1024 2 4 × 1 2 + 1 4 × 2 3 = 10 24 ​​

数据范围与提示
对于 10% 10 % 的数据，有 1≤n≤10 1 ≤ n ≤ 10

对于 30% 30 % 的数据，有 1≤n≤20 1 ≤ n ≤ 20

对于 50% 50 % 的数据，有 1≤∑i=1nwi≤5000 1 ≤ ∑ i = 1 n w i ≤ 5000

另有 10% 10 % 的数据，满足 1≤wi≤2 1 ≤ w i ≤ 2 ，且 w1=1 w 1 = 1

另有 10% 10 % 的数据，满足 1≤wi≤2 1 ≤ w i ≤ 2 ，且 w1=2 w 1 = 2

对于 100% 100 % 的数据，有 wi>0 w i > 0 ，且 1≤∑i=1nwi≤100000 1 ≤ ∑ i = 1 n w i ≤ 100000

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完全想不到的神题……
花了1h+依旧停留在指数级算法上……
太菜了QAQ

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思路:
考虑答案的计算式，由于是要求1号最后一个被射杀，有点难求。
于是考虑容斥，枚举在1号之后被杀的人的集合，那么设 P(s) P ( s ) 为这个集合的人在 1 1 号之后被杀的概率，有:

ans=∑s(−1)|s|P(s) a n s = ∑ s ( − 1 ) | s | P ( s )

于是考虑 P(s) P ( s ) 怎么算。
发现这个每个时刻都在变的分母十分恶心，考虑消去它。
于是考虑改变规则为可以鞭尸，但鞭到尸就立刻再开一枪。
即有如下式子:

P(s)=∑i=0inf(1−w1+sumw(s)W)iw1W P ( s ) = ∑ i = 0 inf ( 1 − w 1 + s u m w ( s ) W ) i w 1 W

上式的意思是，由于不知道在射死1号之前会开几枪，于是把所有情况累加起来~

考虑将极限花去，根据无穷级数求和（或者说逆泰勒展开）易知:

∑i=0infxi=11−x ∑ i = 0 inf x i = 1 1 − x

于是有

P(s)====∑i=0inf(1−w1+sumw(s)W)iw1W11−(1−w1+sumw(s)W)∗w1WWw1+sumw(s)∗w1Ww1w1+sumw(s) P ( s ) = ∑ i = 0 inf ( 1 − w 1 + s u m w ( s ) W ) i w 1 W = 1 1 − ( 1 − w 1 + s u m w ( s ) W ) ∗ w 1 W = W w 1 + s u m w ( s ) ∗ w 1 W = w 1 w 1 + s u m w ( s )

于是

ans=∑s(−1)|s|w1w1+sumw(s) a n s = ∑ s ( − 1 ) | s | w 1 w 1 + s u m w ( s )

然而依旧不好求，复杂度与 2n 2 n 有关……
注意到条件 ∑i=1nwi≤100000 ∑ i = 1 n w i ≤ 100000 ，这意味着不同的 w1+sumw(s) w 1 + s u m w ( s ) 数量不超过 100000 100000 个。

于是考虑将分母相同的合在一起算，做一个背包来得到每种分母的所有分子之和，然后对应累加即可~
然而背包复杂度是 O(n2) O ( n 2 ) 的，并不能过。
于是考虑将贡献写成生成函数，将背包过程想象成多项式乘法，就可以分治FFT了。

于是就能过了。
复杂度 O(WlogWlogN) O ( W log ⁡ W log ⁡ N ) 。

#include
#include
using namespace std;

inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || '9'while('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
    return x;
}

typedef long long ll;
const int N=5e5+9;
const int md=998244353;

inline ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=ret*a%md;
        a=a*a%md;b>>=1;
    }
    return ret;
}

namespace ntt
{
    int rev[N];

    inline void initrev(int n)
    {
        for(int i=0;i>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
    }

    inline void ntt(ll *a,int n,int f)
    {
        for(int i=0;iif(ifor(int h=2;h<=n;h<<=1)
        {
            ll w=qpow(3,(md-1)/h);
            if(f)w=qpow(w,md-2);
            for(int j=0;j1ll,x,y;
                for(int k=j;k>1);k++)
                {
                    x=a[k];y=a[k+(h>>1)]*wn%md;wn=wn*w%md;
                    a[k]=(x+y)%md;a[k+(h>>1)]=(x-y+md)%md;
                }
            }
        }
        if(f)
            for(ll i=0,inv=qpow(n,md-2);iinline void mul(ll *a,int n,ll *b,int m,ll *c,int k)
    {
        static ll d[N],e[N],l;
        for(l=1;l<=n+m;l<<=1);
        for(int i=0;ifor(int i=0;ifor(int i=n;i0;
        for(int i=m;i0;
        initrev(l);ntt(d,l,0);ntt(e,l,0);
        for(int i=0;i1);
        for(int i=0;i1;i++)
            c[i]=d[i];
    }
}

int n,w[N],cnt;
ll f[30][N],len[30];

inline void work(int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        f[++cnt][0]=1;
        f[cnt][w[l]]=md-1;
        for(int i=1;i0;
        len[cnt]=w[l]+1;
        return;
    }

    int mid=l+r>>1;
    work(l,mid);work(mid+1,r);
    ntt::mul(f[cnt],len[cnt],f[cnt-1],len[cnt-1],f[cnt-1],N);
    len[cnt-1]=len[cnt]+len[cnt-1]-1;cnt--;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        w[i]=read();
    work(2,n);

    ll ans=0;
    for(int i=0;i+w[1]<=2e5;i++)
        if(f[1][i])
            (ans+=qpow(w[1]+i,md-2)*f[1][i]%md)%=md;
    printf("%lld\n",ans*w[1]%md);
    return 0;
}