R语言曲线回归：多项式回归、多项式样条回归、非线性回归数据分析
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本文将使用三种方法使模型适合曲线数据：1）多项式回归；2）用多项式样条进行B样条回归；3） 进行非线性回归。在此示例中，这三个中的每一个都将找到基本相同的最佳拟合曲线。
多项式回归
多项式回归实际上只是多元回归的一种特殊情况。
对于线性模型（lm），调整后的R平方包含在summary（model）语句的输出中。AIC是通过其自己的函数调用AIC（model）生成的。使用将方差分析函数应用于两个模型进行额外的平方和检验。
对于AIC，越小越好。对于调整后的R平方，越大越好。将模型a与模型b进行比较的额外平方和检验的非显着p值表明，带有额外项的模型与缩小模型相比，并未显着减少平方误差和。也就是说，p值不显着表明带有附加项的模型并不比简化模型好。
Data = read.table(textConnection(Input),header=TRUE)
### Change Length from integer to numeric variable
### otherwise, we will get an integer overflow error on big numbers
Data$Length = as.numeric(Data$Length)
### Create quadratic, cubic, quartic variables
library(dplyr)
Data =
mutate(Data,
Length2 = Length*Length,
Length3 = Length*Length*Length,
Length4 = Length*Length*Length*Length)
library(FSA)
headtail(Data)
Length Clutch Length2 Length3 Length4
1 284 3 80656 22906304 6505390336
2 290 2 84100 24389000 7072810000
3 290 7 84100 24389000 7072810000
16 323 13 104329 33698267 10884540241
17 334 2 111556 37259704 12444741136
18 334 8 111556 37259704 12444741136
定义要比较的模型
model.1 = lm (Clutch ~ Length, data=Data)
model.2 = lm (Clutch ~ Length + Length2, data=Data)
model.3 = lm (Clutch ~ Length + Length2 + Length3, data=Data)
model.4 = lm (Clutch ~ Length + Length2 + Length3 + Length4, data=Data)
生成这些模型的模型选择标准统计信息
summary(model.1)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.4353 17.3499 -0.03 0.98
Length 0.0276 0.0563 0.49 0.63
Multiple R-squared: 0.0148, Adjusted R-squared: -0.0468
F-statistic: 0.24 on 1 and 16 DF, p-value: 0.631
AIC(model.1)
[1] 99.133
summary(model.2)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -9.00e+02 2.70e+02 -3.33 0.0046 **
Length 5.86e+00 1.75e+00 3.35 0.0044 **
Length2 -9.42e-03 2.83e-03 -3.33 0.0045 **
Multiple R-squared: 0.434, Adjusted R-squared: 0.358
F-statistic: 5.75 on 2 and 15 DF, p-value: 0.014
AIC(model.2)
[1] 91.16157
anova(model.1, model.2)
Analysis of Variance Table
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 16 186.15
2 15 106.97 1 79.178 11.102 0.00455 **
其余模型继续此过程
| 四个多项式模型的模型选择标准。模型2的AIC最低，表明对于这些数据，它是此列表中的最佳模型。同样，模型2显示了最大的调整后R平方。最后，额外的SS测试显示模型2优于模型1，但模型3并不优于模型2。所有这些证据表明选择了模型2。 |
||||||
| 模型 |
|
AIC |
|
调整后的R平方 |
|
p值 |
| 1 |
|
99.1 |
|
-0.047 |
|
|
| 2 |
|
91.2 |
|
0.36 |
|
0.0045 |
| 3 |
|
92.7 |
|
0.33 |
|
0.55 |
| 4 |
|
94.4 |
|
0.29 |
|
0.64 |
对比与方差分析
AIC，AICc或BIC中的任何一个都可以最小化以选择最佳模型。
$Fit.criteria
Rank Df.res AIC AICc BIC R.squared Adj.R.sq p.value Shapiro.W Shapiro.p
1 2 16 99.13 100.80 101.80 0.01478 -0.0468 0.63080 0.9559 0.5253
2 3 15 91.16 94.24 94.72 0.43380 0.3583 0.01403 0.9605 0.6116
3 4 14 92.68 97.68 97.14 0.44860 0.3305 0.03496 0.9762 0.9025
4 5 13 94.37 102.00 99.71 0.45810 0.2914 0.07413 0.9797 0.9474
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 16 186.15
2 15 106.97 1 79.178 10.0535 0.007372 ** ## Compares m.2 to m.1
3 14 104.18 1 2.797 0.3551 0.561448 ## Compares m.3 to m.2
4 13 102.38 1 1.792 0.2276 0.641254 ## Compares m.4 to m.3
研究最终模型
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -9.00e+02 2.70e+02 -3.33 0.0046 **
Length 5.86e+00 1.75e+00 3.35 0.0044 **
Length2 -9.42e-03 2.83e-03 -3.33 0.0045 **
Multiple R-squared: 0.434, Adjusted R-squared: 0.358
F-statistic: 5.75 on 2 and 15 DF, p-value: 0.014
Anova Table (Type II tests)
Response: Clutch
Sum Sq Df F value Pr(>F)
Length 79.9 1 11.2 0.0044 **
Length2 79.2 1 11.1 0.0045 **
Residuals 107.0 15
模型的简单图解
检查模型的假设
线性模型中残差的直方图。这些残差的分布应近似正态。
残差与预测值的关系图。残差应无偏且均等。
###通过以下方式检查其他模型：
具有多项式样条的B样条回归
B样条回归使用线性或多项式回归的较小部分。它不假设变量之间存在线性关系，但是残差仍应是独立的。该模型可能会受到异常值的影响。
### --------------------------------------------------------------
### B-spline regression, turtle carapace example
### --------------------------------------------------------------
summary(model) # Display p-value and R-squared
Residual standard error: 2.671 on 15 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.4338, Adjusted R-squared: 0.3583
F-statistic: 5.747 on 2 and 15 DF, p-value: 0.01403
模型的简单图解
检查模型的假设
线性模型中残差的直方图。这些残差的分布应近似正态。
残差与预测值的关系图。残差应无偏且均等。
非线性回归
非线性回归可以将各种非线性模型拟合到数据集。这些模型可能包括指数模型，对数模型，衰减曲线或增长曲线。通过迭代过程，直到一定的收敛条件得到满足先后找到更好的参数估计。
在此示例中，我们假设要对数据拟合抛物线。
数据中包含变量（Clutch和Length），以及我们要估计的参数（Lcenter，Cmax和a）。
没有选择参数的初始估计的固定过程。通常，参数是有意义的。这里Lcenter 是顶点的x坐标，Cmax是顶点的y坐标。因此我们可以猜测出这些合理的值。 尽管我们知道参数a应该是负的，因为抛物线向下打开。
因为nls使用基于参数初始估计的迭代过程，所以如果估计值相差太远，它将无法找到解决方案，它可能会返回一组不太适合数据的参数估计。绘制解决方案并确保其合理很重要。
如果您希望模型具有整体p值，并且模型具有伪R平方，则需要将模型与null模型进行比较。从技术上讲，要使其有效，必须将null模型嵌套在拟合模型中。这意味着null模型是拟合模型的特例。
对于没有定义r平方的模型，已经开发了各种伪R平方值。
### --------------------------------------------------------------
### Nonlinear regression, turtle carapace example
### --------------------------------------------------------------
Data = read.table(textConnection(Input),header=TRUE)
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
Lcenter 310.72865 2.37976 130.57 < 2e-16 ***
Cmax 10.05879 0.86359 11.65 6.5e-09 ***
a -0.00942 0.00283 -3.33 0.0045 **
确定总体p值和伪R平方
anova(model, model.null)
Res.Df Res.Sum Sq Df Sum Sq F value Pr(>F)
1 15 106.97
2 17 188.94 -2 -81.971 5.747 0.01403 *
$Pseudo.R.squared.for.model.vs.null
Pseudo.R.squared
McFadden 0.109631
Cox and Snell (ML) 0.433836
Nagelkerke (Cragg and Uhler) 0.436269
确定参数的置信区间
2.5 % 97.5 %
Lcenter 305.6563154 315.800988774
Cmax 8.2180886 11.899483768
a -0.0154538 -0.003395949
------
Bootstrap statistics
Estimate Std. error
Lcenter 311.07998936 2.872859816
Cmax 10.13306941 0.764154661
a -0.00938236 0.002599385
------
Median of bootstrap estimates and percentile confidence intervals
Median 2.5% 97.5%
Lcenter 310.770796703 306.78718266 316.153528168
Cmax 10.157560932 8.58974408 11.583719723
a -0.009402318 -0.01432593 -0.004265714
模型的简单图解
检查模型的假设
线性模型中残差的直方图。这些残差的分布应近似正态。
plot(fitted(model),
residuals(model)) 
残差与预测值的关系图。残差无偏且均等。