三角网格参数化几种简单的方法比较

---

三角网格参数化可归结为这样一个问题：给定一个由空间点集组成的三角网格和一个二维参数域。通常为平面或者球面。求一个参数域上的点 P∗i 到网格上的点 pi 的一一映射。使得参数域上的网格与原网格拓扑结构同构，并保证参数与上的三角形步重叠的同时谋求某种与原始网格之间几何变量的变形的最小化。
下面介绍几种简单的常用的参数化方法.这样我介绍的方法是我看论文自己理解的过程不是完全对着论文翻译的所以一些具体字母代表的含义。我这里就没有细说了。大家对着论文看就好了。

1 uniform 参数化方法
把网格的边界映射到一个平面的凸多边形上的所有点的内部点成为器一环临近点的凸组合。器权重以它为种点点一环的平均值。在这里主要分成了两步，第一步求边界点的参数化，第二步求内部点的参数化。边界点的参数化比较容易求。最简单的方法就是把边界点均分到圆形或者矩形的边界上或者用其他方法。第二步求内部点。在求内部点时解基本都是求解一个线性方差
Ui=∑Ni=1λi,jUj
其中
λi,j = {1/di,0,(i,j)∈E other
其实在这里可以看出这就是一个求每个点和其领域内点的一个组合
2 shape preserve 参数化方法
其实保形参数化和上面的基本类似。最大的区别就是对于权重的求解不一样而已。
同样可以分成两部。第一步求解边界点的参数化。可以使用最简单的均分方法也可以使用逆时针的弦长参数化的方法。第二步求解内部点的参数化的方法。这里比较复杂一点。后面详细说。
现在具体说一下对于保形参数化内部点的求解方法。

这里 θi=∑dii=1 也就是领域内各个角度的和。上面两个公式大家在各个论文上面都可以看到。其实这两个公式的意思就是保证长度一样和角度的比一样了。具体怎么求解先假设一个初始点一般设为p(0.,0)这样就可以求解出 pk 了。因为后面长度是已知的。这样就可以得到一个圆。最后在根据后面的角度就可以求出具体的坐标了。最后在求解了每个 pk 以后再判断每个点p是否再由三个点组成的三角形内部。如果在内部就可以使用
这个公式了。然后就可以求得每个点的权重了。最后求出的权重求一个平均值就好了。这样就得到了整个权重了。最后在得到了权重以后再根据上述凸组合的公式求解线性方程求出参数化结果。
3mean value 参数化方法
这种方法和上述的方法类似基本都是求权重的方法。在这里权重的求法不一样而已。在这里权重的求法是


通过上述的方法就可以求出权重了。然后再求解线性方程就可以得到整个参数化的结果了。
最后也许有人会问 上述的各个角度到底要怎么求。其实求解角度很简单，就是使用反三角函数就可以得到角度了。根据变的长度求解出整个余弦，然后根据反三角函数就可以求解出整个长度了。