R语言里的非线性模型：多项式回归、局部样条、平滑样条、广义加性模型分析

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总览

在这里，我们放宽了流行的线性技术的线性假设。有时线性假设只是一个很差的近似值。有许多方法可以解决此问题，其中一些方法可以通过使用正则化方法降低模型复杂性来  解决  。但是，这些技术仍然使用线性模型，到目前为止只能进行改进。本文本专注于线性模型的扩展…

• 多项式回归    这是对数据提供非线性拟合的简单方法。

• 阶跃函数  将变量的范围划分为  K个  不同的区域，以生成定性变量。这具有拟合分段常数函数的效果。

• 回归样条  比多项式和阶跃函数更灵活，并且实际上是两者的扩展。 

• 局部样条曲线  类似于回归样条曲线，但是允许区域重叠，并且可以平滑地重叠。

• 平滑样条曲线  也类似于回归样条曲线，但是它们最小化平滑度惩罚的残差平方和准则 。

• 广义加性模型  允许扩展上述方法以处理多个预测变量。

多项式回归

这是扩展线性模型的最传统方法。随着我们增加 多项式的  度，多项式回归使我们能够生成非常非线性的曲线，同时仍使用最小二乘法估计系数。

步骤功能

它经常用于生物统计学和流行病学中。

回归样条

回归样条是 扩展多项式和逐步回归技术的许多基本函数之一  。事实上。多项式和逐步回归函数只是基  函数的特定情况  。

这是分段三次拟合的示例（左上图）。

为了解决此问题，更好的解决方案是采用约束，使拟合曲线必须连续。

选择结的位置和数量

一种选择是在我们认为变化最快的地方放置更多的结，而在功能更稳定的地方放置更少的结。这可以很好地工作，但是在实践中，通常以统一的方式放置结。

要清楚的是，在这种情况下，实际上有5个结，包括边界结。

那么我们应该使用多少个结？一个简单的选择是尝试许多个结，然后看哪个会产生最好的曲线。但是，更客观的方法是使用交叉验证。

与多项式回归相比，样条曲线可以显示出更稳定的效果。

平滑样条线

在上一节中，我们讨论了回归样条曲线，该样条曲线是通过指定一组结，生成一系列基函数，然后使用最小二乘法估计样条系数而创建的。平滑样条曲线是创建样条曲线的另一种方法。让我们回想一下，我们的目标是找到一些非常适合观察到的数据的功能，即最大限度地减少RSS。但是，如果对我们的函数没有任何限制，我们可以始终通过选择一个精确内插所有数据的函数来使RSS设为零。

选择平滑参数Lambda

同样，我们求助于交叉验证。事实证明，我们实际上可以非常有效地计算LOOCV，以平滑样条曲线，回归样条曲线和其他任意基函数。

平滑样条线通常比回归样条线更可取，因为它们通常会创建更简单的模型并具有可比的拟合度。

局部回归

局部回归涉及仅使用附近的训练观测值来计算目标点x 0 处的拟合度  。

可以通过各种方式执行局部回归，尤其是在涉及拟合p  线性回归模型的多变量方案中尤为明显  ，因此某些变量可以全局拟合，而某些局部拟合。

广义加性模型

 

GAM模型提供了一个通用框架，可通过允许每个变量的非线性函数扩展线性模型，同时保持可加性。

具有平滑样条的GAM并不是那么简单，因为不能使用最小二乘。取而代之的 是使用一种称为反向拟合的方法  。

GAM的优缺点

优点

• GAM允许将非线性函数拟合到每个预测变量，以便我们可以自动对标准线性回归会遗漏的非线性关系进行建模。我们不需要对每个变量分别尝试许多不同的转换。

• 非线性拟合可以潜在地对响应Y做出更准确的预测  。

• 因为模型是可加的，所以我们仍然可以检查每个预测变量对Y的影响，   同时保持其他变量不变。

缺点

• 主要局限性在于该模型仅限于累加模型，因此可能会错过重要的相互作用。

 

范例

多项式回归和阶跃函数

library(ISLR)
attach(Wage)

我们可以轻松地使用来拟合多项式函数，然后指定多项式  的变量和次数。该函数返回正交多项式的矩阵，这意味着每列是变量的变量的线性组合  age，  age^2，  age^3，和  age^4。如果要直接获取变量，可以指定  raw=TRUE，但这不会影响预测结果。它可用于检查所需的系数估计。

fit = lm(wage~poly(age, 4), data=Wage)
kable(coef(summary(fit)))

 

现在让我们创建一个ages 我们要预测的向量。最后，我们将要绘制数据和拟合的4度多项式。

 

ageLims <- range(age)
age.grid <- seq(from=ageLims[1], to=ageLims[2])

pred <- predict(fit, newdata = list(age = age.grid),
                se=TRUE)
se.bands <- cbind(pred$fit + 2*pred$se.fit,
                  pred$fit - 2*pred$se.fit)

plot(age,wage,xlim=ageLims ,cex=.5,col="darkgrey")
title("Degree -4 Polynomial ",outer=T)
lines(age.grid,pred$fit,lwd=2,col="blue")
matlines(age.grid,se.bands,lwd=2,col="blue",lty=3)

在这个简单的示例中，我们可以使用ANOVA检验 。

## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: wage ~ age
## Model 2: wage ~ poly(age, 2)
## Model 3: wage ~ poly(age, 3)
## Model 4: wage ~ poly(age, 4)
## Model 5: wage ~ poly(age, 5)
##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)    
## 1   2998 5022216                               
## 2   2997 4793430  1    228786 143.59 <2e-16 ***
## 3   2996 4777674  1     15756   9.89 0.0017 ** 
## 4   2995 4771604  1      6070   3.81 0.0510 .  
## 5   2994 4770322  1      1283   0.80 0.3697    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

我们看到，_M_1 与二次模型  相比，p值  _M_2 实质上为零，这表明线性拟合是不够的。 因此，我们可以得出结论，二次方或三次方模型可能更适合于此数据，并且偏向于简单模型。

我们也可以使用交叉验证来选择多项式次数。

 

在这里，我们实际上看到的最小交叉验证误差是针对4度多项式的，但是选择3阶或2阶模型并不会造成太大损失。接下来，我们考虑预测个人是否每年收入超过25万美元。

但是，概率的置信区间是不合理的，因为我们最终得到了一些负概率。为了生成置信区间，更有意义的是转换对  数  预测。

绘制：

plot(age,I(wage>250),xlim=ageLims ,type="n",ylim=c(0,.2))
points(jitter(age), I((wage>250)/5),
       cex=.5,pch="|", col =" darkgrey ")
lines(age.grid,pfit,lwd=2, col="blue")
matlines(age.grid,se.bands,lwd=1,col="blue",lty=3)

逐步函数

在这里，我们需要拆分数据。 

table(cut(age, 4))

## 
## (17.9,33.5]   (33.5,49]   (49,64.5] (64.5,80.1] 
##         750        1399         779          72

fit <- lm(wage~cut(age, 4), data=Wage)
coef(summary(fit))

##                        Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|)
## (Intercept)              94.158      1.476  63.790 0.000e+00
## cut(age, 4)(33.5,49]     24.053      1.829  13.148 1.982e-38
## cut(age, 4)(49,64.5]     23.665      2.068  11.443 1.041e-29
## cut(age, 4)(64.5,80.1]    7.641      4.987   1.532 1.256e-01

splines 样条函数

在这里，我们将使用三次样条。

由于我们使用的是三个结的三次样条，因此生成的样条具有六个基函数。 

## [1] 3000    6

dim(bs(age, df=6))

## [1] 3000    6

##   25%   50%   75% 
## 33.75 42.00 51.00

拟合样条曲线。

 我们也可以拟合平滑样条。在这里，我们拟合具有16个自由度的样条曲线，然后通过交叉验证选择样条曲线，从而产生6.8个自由度。

## Warning: cross-validation with non-unique 'x' values seems doubtful

fit2$df

## [1] 6.795

lines(fit, col='red', lwd=2)
lines(fit2, col='blue', lwd=1)
legend('topright', legend=c('16 DF', '6.8 DF'),
       col=c('red','blue'), lty=1, lwd=2, cex=0.8)

局部回归

执行局部回归。 

GAMs

现在，我们使用GAM通过年份，年龄和受教育程度的自然样条来预测工资。由于这只是具有多个基本函数的线性回归模型，因此我们仅使用该  lm() 函数。

为了适合更复杂的样条曲线 ，我们需要使用平滑样条曲线。

## Loaded gam 1.09.1

绘制这两个模型

 year 是线性的。我们可以创建一个新模型，然后使用ANOVA测试 。

## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: wage ~ ns(age, 5) + education
## Model 2: wage ~ year + s(age, 5) + education
## Model 3: wage ~ s(year, 4) + s(age, 5) + education
##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq    F  Pr(>F)    
## 1   2990 3712881                              
## 2   2989 3693842  1     19040 15.4 8.9e-05 ***
## 3   2986 3689770  3      4071  1.1    0.35    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

似乎添加线性year 成分要比不添加线性  成分的GAM好得多  year。 

## 
## Deviance Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -119.43  -19.70   -3.33   14.17  213.48 
## 
## (Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 1236)
## 
##     Null Deviance: 5222086 on 2999 degrees of freedom
## Residual Deviance: 3689770 on 2986 degrees of freedom
## AIC: 29888 
## 
## Number of Local Scoring Iterations: 2 
## 
## Anova for Parametric Effects
##              Df  Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)    
## s(year, 4)    1   27162   27162      22 2.9e-06 ***
## s(age, 5)     1  195338  195338     158 < 2e-16 ***
## education     4 1069726  267432     216 < 2e-16 ***
## Residuals  2986 3689770    1236                    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Anova for Nonparametric Effects
##             Npar Df Npar F  Pr(F)    
## (Intercept)                          
## s(year, 4)        3    1.1   0.35    
## s(age, 5)         4   32.4 <2e-16 ***
## education                            
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

在具有非线性关系的模型中，  year 我们可以再次确认 对模型没有贡献。

接下来，我们 将局部回归拟合为GAM中的构建块  。

在调用GAM之前，我们还可以使用局部回归来创建交互条件。

我们可以 绘制结果表面  。