我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛"

upd:发现这篇文章里面似乎有很多细节上的错误，如果还有错误的话在cnblogs下评论吧，我会改的QwQ，cnblogs戳这里。

upd：正在写一篇复习向的文章，之后贴链接，可以作为这篇文章的一个补充。
upd：写好啦，戳这里。新写的这篇复习向文章QwQ，可以当做一个补充来看吧。不过新写的文章也有我新的理解吧。

Part0

最近一直在搞这些东西
做了将近20道题目吧
也算是有感而发
写点东西记录一下自己的感受

如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛，请拿出纸笔，每个式子都自己好好的推一遍，理解清楚每一步是怎么来的，并且自己好好思考。

Part1莫比乌斯反演

莫比乌斯反演啥都没有，就只有两个式子（一般只用一个）
原来我已经写过一次了，再在这里写一次
就只写常用的那个吧

基本的公式

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对于一个函数$f(x)$
设$g(x)={\sum }_{x|d}f(d)$
那么
$$f(x)=\sum _{x|d}\mu (\frac{d}{x})g(d)$$

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这个有什么用？
似乎太有用了一点

随手搞道题目来说吧

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求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=1]$$

这个东西很直接，
所以我们设$$f(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=x]$$
$$g(x)=\sum _{x|d}f(d)$$
根据莫比乌斯反演可以得到
$$f(1)=\sum _{1|d}\mu (\frac{d}{1})g(d)=\sum _{i=1}^n\mu (i)g(i)$$
$g(x)$是什么东西？
$$g(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[x|gcd(i,j)]$$
直接把$x$除到上面去
$$g(x)=\sum _{i=1}^{n/x}\sum _{j=1}^{m/x}[1|gcd(i,j)]$$
$[1|gcd]$显然成立的
所以$g(x)=[\frac{n}{x}][\frac{m}{x}]$
可以$O(1)$计算
所以，$f(1)$可以$O(n)$计算

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一起推下式子

莫比乌斯反演的套路太多了

我们再来看两道题目
Crash的数字表格
jzptab

这两题按照顺序看嗷

具体的过程直接看我博客里面写的东西

我们发现这两道题一模一样
但是下面的那道题目可以做到单次询问$O(\sqrt{n})$

他多干了什么？？？
这个问题，我们自己再来重新推一下
不过找个容易点的东西

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$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)$$

这个肯定没有前面我给的例子的莫比乌斯反演那么直接
但是我们观察一下，$gcd$的取值有哪些？？
$1～n$(假设$n<m$)
那么，我们可以把$gcd$相同的项合并

所以，我们枚举$gcd$的值
$$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=d]$$
后面的那一部分是不是想到了前面推出的东西？？？
所以先把$d$直接除上去
$$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{n/d}\sum _{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1]$$
$n/d$和$m/d$不要想太多，你就当成$x$和$y$
$$\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y[gcd(i,j)=1]$$
不就是上面推过的第一个例子？？
$$=\sum _{i=1}^x\mu (i)[\frac{x}{i}][\frac{y}{i}]$$

把这一截放回我们要求的式子里面去
$$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^x\mu (i)[\frac{x}{i}][\frac{y}{i}]$$
把$x,y$还是写成原样吧
$$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{n/d}\mu (i)[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}]$$

是不是$n/d$可以数论分块
而在计算后面的东西的时候，$\frac{n/d}{i}$也可以数论分块？？
所以这个时候的复杂度是$O(n)$
与之相对应的就是上面Crash的数字表格的$O(n)$做法

可是，像下面那个$O(\sqrt{n})$是怎么做的呢？

那我们就继续推一步
我们是不是可以直接对$\frac{n}{id}$分块呢？
所以，我们设$T=id$把$id$换一下
$$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{n/d}\mu (i)[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]$$
这个时候，比较关键的一步
把$T$提出来
$$\sum _{T=1}^n[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\sum _{d|T}d\mu (\frac{T}{d})$$
为什么是这个？？
我们来分析一波
首先每一个$T$一定对应$[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]$
这一项之和$T$有关，所以可以提出来

这个时候考虑对于每一个$T$，什么样的$i$和$d$会给他产生贡献呢？
最显然的一点，$d$是$T$的一个因数
看到上面的式子，我们不难发现会贡献一个$d$的什么东西
后面的是什么？$\mu (i)$
继续想想，既然$T=id$，我们枚举了一个$T$，
又知道$d$是$T$的一个因子了，所以$i=\frac{T}{d}$
所以，就有了上面把$T$拿出来的式子

前面的东西看起来可以数论分块
但是这样子后面的东西怎么办？
不可能$O(\sqrt{n})$暴力枚举呀

没错，当然不需要暴力枚举
我们发现后面的东西也是一个积性函数（因为他是两个积性函数的狄利克雷卷积）
所以它是可以线性的筛出来的
到这里，前面对于$T$数论分块
后面的前缀和可以$O(n)$线性筛预处理出来
此时单次询问整体的复杂度就是$O(\sqrt{n})$

对了，不要思想江化
后面那个东西如果不能够直接线性筛
那就不要线性筛了，
只要复杂度允许，暴力筛也是很可以的

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其实，如果我们继续观察，很容易知道一点：
${\sum }_{d|T}d\mu (\frac{T}{d})=\phi (T)$

upd:原来底下的证明是假的，已经删掉了，这里用容斥的方法很容易证明，考虑到$\mu$是容斥系数就可以很容易的知道上述式子的组合意义。

我们知道$(1\ast \phi )(i)=i$
还知道$(1\ast \mu )(i)=e$
其中$1$是$f(x)=1$
$e$是$f(x)=[x=1]$
$id$是$f(x)=x$

所以这个东西当然可以线性筛啦。

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莫比乌斯反演差不多就到这里啦
我们经历的复杂度从$O(n^2)$的暴力
推一步之后变成了$O(n)$
再变成了$O(\sqrt{n})$

莫比乌斯反演的关键步骤也就是两步
首先是化简式子，写成莫比乌斯反演的形式
然后就是怎么处理前缀和，数论分块等东西的问题

这些能够解决好，莫比乌斯反演的题目就很好解决啦

Part2线性筛

当然是怎么各种线性筛东西啦

线性筛最重要的一点：
每个数一定，也只会，被他的最小质因子给筛到
说白点，比如说$72=2\ast 2\ast 2\ast 3\ast 3$
他就会被他的最小质因子给筛到
也就是$2\ast 36$时被筛到

所以，一般线性筛如果要存储其他的东西来筛的话
一定是记录最小质因子的东西

大概的写一下几个积性函数：

$\mu$莫比乌斯函数

这个怎么筛应该都会吧

$\phi$欧拉函数

怎么筛应该也很明显吧。

$d$约数个数

这个怎么筛？
考虑唯一分解定理:
$x=\prod p_i^{ai}$
那么$d(x)=\prod (ai+1)$
记录一下最小质因子的个数
每次就先把原来的除掉，再把$+1$后的个数乘上就好啦

$\sigma$约数和

还是唯一分解定理
$x=\prod p_i^{ai}$
$\sigma (x)=\prod ({\sum }_{j=0}^{ai}{p}_i^j)$
记录一下最小质因子的上面那个式子的和
以及这个因子的$ai$次幂
每次也是先除掉再乘上新的

$a^k$ $k$次幂

把这个东西写进来，只是为了提醒一下
$a^k$这种东西是一个完全积性函数，也是可以丢进去筛的

$inv$乘法逆元

没啥，一样的，乘法逆元也是完全积性函数
蛤，我知道可以$O(n)$递推
只是写一下而已

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我比较懒，不想把板子蒯过来
直接把ppl的链接给你们嗷（虽然他的代码风格我觉得很丑）

Part3杜教筛

来个栗子

线性筛$O(n)$复杂度，美滋滋
好的，我知道了
来一个很$interesting$的题目？？？

$$求\sum _{i=1}^n\mu (i)的值$$

我当然知道你会线性筛
所以$n<=10^9$

杜教筛是蛤？

比如说。。
我们现在要求一个积性函数$f(i)$的前缀和$S(i)$
也就是说$S(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$

现在很不好算呀
怎么办？？

这个时候，就来杜教筛套路一波

我再来找个积性函数$g(i)$（不知道是啥）
让$g$和$f$做一个卷积
$$(g\ast f)(i)=\sum _{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})$$
再求一下卷积的前缀和
$$\sum _{i=1}^n(g\ast f)(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})$$
把$d$给提出来
$$\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{d|i}f(\frac{i}{d})$$
$$\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{n/d}f(i)$$
$$\sum _{d=1}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$$
如果仔细想想
我们就会有这个式子：
$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})$$
前面的东西是狄利克雷卷积
$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(g\ast f)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})$$
如果狄利克雷卷积的前缀和非常好算的话
那么我们就可以对后面的东西进行数论分块
然后递归计算。
提醒一句：
一定要记忆化，一定要记忆化，一定要记忆化

回到栗子

${\sum }_{i=1}^n\mu (i)$
把杜教筛的公式套路式子找过来蛤
$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(g\ast \mu )(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})$$
看到了$\mu$想一个积性函数，让他们的狄利克雷卷积前缀和很好算
我们知道
$$\sum _{d|i}\mu (d)=[d=1]=e$$
也就是说
$$(1\ast \mu )=e$$
$e$的前缀和是啥？
当然是$1$了
所以，取$g(x)=1$
$$S(n)=1-\sum _{i=2}^{n}S(\frac{n}{i})$$
这样子的话，首先线性筛出一部分的$\mu$的前缀和
然后来一波记忆化搜索美滋滋

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再来个栗子把
把上面的$\mu$换成$\phi$
我们还是知道
$$\sum _{d|i}\phi (d)=i=id(i)$$
所以，如果是$\phi$的话
就令$g(x)=1$
所以，
$$S(n)=\frac{n\ast (n+1)}{2}-\sum _{i=2}^{n}S(\frac{n}{i})$$

多好的套路

但是，不要被套路给套死啦
面对不同的函数
一定要考虑清楚$g$是啥
好的$g$能让你的程序更加好算

Part4我也不知道为什么要加上这一部分

好啦
上面好好地写了一下莫比乌斯反演和杜教筛
是不是觉得很简单

当然，莫比乌斯反演和杜教筛当然可以混在一起

莫比乌斯反演推柿子
杜教筛求前缀和
一点也不矛盾

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既然我也不知道最后这部分干啥
那就找一堆题目来吧
欢迎查我水表
算了
还是把水表给你们把
莫比乌斯反演的水表
杜教筛的水表

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最后，说几句话
不要因为有了杜教筛和线性筛
就天天想着怎么筛
筛不了就滚去写暴力
埃氏筛法很不错
暴力枚举因数也很不错

最后，一句最经典的话作为结尾

骗分过样例，暴力出奇迹