python数据结构课堂笔记4：递归与动规

递归

什么是递归Recursion?

• 递归是一种解决问题的方法，其精髓在：
  将问题分解为规模更小的相同问题
  持续分解，直到问题规模小到可以用非常简单直接的方式解决
  递归的问题分解方式非常独特，其算法方面的明显特征就是：在算法流程中调用自身

• 递归为我们提供了一种对复杂问题的优雅解决方案，精妙的递归算法常会出奇简单，令人赞叹。

递归最简单的实例：数列求和

• 问题：给定一个列表，返回所有数的和，列表中数的个数不确定
• 如果不用for循环和while循环，就可以用递归来求解
• 我们认识到求和实际上最终是由一次次的加法实现的，而加法恰有两个操作数，是确定的。
• 我们的目的是将规模较大的列表求和，分解为规模较小且固定的两个数求和
• 换方式来表达数列求和：全括号表达式(1+(3+(5+(7+9))))
• 则加法实现为：
  total = (1+(3+(5+(7+9))))
  total = (1+(3+(5+16)))
  total = (1+(3+21))
  total = (1+24)
  total = 25
• 求和问题可归纳为：数列的和 = “首个数” + “余下数列”的和
• 如果数列包含的数少到只有1个的话，它的和就是这个数了
  lenSum(numList) = first(numList) + listSum(rest(numList))
  问题 分解 相同问题，规模更小

def listsum(numList):
    if len(numList) == 1:
        return numList[0]#更小规模
    else:
        return numList[0] + listsum(numList[1: ])#调用自身

print(listsum[1,3,5,7,9])  

问题分解为更小规模的相同问题，并表现为"调用自身"；对更小规模问题的解决：简单直接

递归“三定律”

1. 递归算法必须有一个基本结束条件（最小规模问题的直接解决）
2. 递归算法必须减小规模，改变状态，向基本结束条件演进（减小问题规模）
3. 递归算法必须调用自身（解决减少了规模的相同问题）
   调用自身可以理解为“问题分解成了规模更小的相同问题”

递归算法的实现

• 当一个函数被调用的时候，系统会把调用时的现场数据压入到系统调用栈
  现场数据：包括要返回函数的名称、调用函数时函数包括的参数、局部变量等。
  每次调用，压入栈的现场数据称为栈帧
  当函数返回时，要从调用栈的栈顶取得返回地址，恢复现场，弹出栈帧，按地址返回。
  在递归时，会产生一些局部变量，并将现场数据压入系统调用栈中，当递归结束后，将局部变量销毁，栈顶数据按地址返回。

python中的递归深度限制

• 调用递归时常出现的错误：RecursionError
  递归的层数太多，系统调用栈容量有限

• 这时候要检查程序中是否忘记设置基本结束条件，导致无限递归
  或者向基本结束条件演进太慢，导致递归层数太多，调用栈溢出

• 在python内置的sys模块可以获取和调整最大递归深度

import sys
sys.getrecursionlimit()#获取递归深度
sys.setrecursionlimit(3000)#修改递归深度

递归可视化

• python海龟作图系统turtle moudle
  python内置，随时可见，以LOGO语言的创意为基础
  其意象为模拟海龟在沙滩上爬行留下的足迹
  爬行：forward(n);backward(n)
  缩写：fd(n)、bk(n)
  转向：left(a);right(a)
  缩写：lt(a)、rt(a)
  抬笔放笔：抬笔penup();落笔pendown()
  缩写：pu()、pd()
  笔属性：笔画粗细pensize(s);
  笔画颜色pencolor©
  画圆:circle(半径，角度)
  画点：dot(大小，颜色)
  填充：
  设定填充颜色：fillcolor(“color”)
  开始填充：begin_fill()
  结束填充：end_fill()
  坐标控制：
  直接到达：goto(x,y)
  获取坐标：position()
  计算距离：distance(x,y)
  turtle.tracer(0)去掉动画直接显示最后图形

作图模板

#1.导入海龟模块
import turtle

#2.生成一只海龟，做一些设定
t = turtle.Turtle()
t.color("blue")
t.pensize(3)#宽度

#3.用海龟作图
t.forward(100)
t.right(60)
t.pensize(5)
t.backward(150)
t.left(90)
t.color("brown")
t.forward(150)

#4.结束作图
t.hideturtle()#隐藏海龟，可选
turtle.done()

• 分形：“一个粗糙或零散的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。
  分形树：自相似递归图形

汉诺塔问题

• 要求
  一次只能搬一个盘子；大盘子不能叠在小盘子上
  搬完64个盘片需要移动：2**64 - 1次
• 解决思路
  递归三定律分析汉诺塔问题（基本结束条件（最小规模）；如何减小规模；调用自身）
  分解递归：
  假如有5个盘子，穿在1号柱上，需要挪到3号柱：
  1.如果能有办法把最上面的一摞4个盘子统统挪到2号柱上；
  2.把剩下最大号盘子直接从1号柱挪到3号柱；
  3.再用同样的办法把2号柱上的一摞4个盘子挪到3号柱即可。
  一摞4个盘子把上面3个盘子挪到3号柱，把剩下最大号盘子从1号柱挪到2号柱，\
  再用同样的办法把一摞3个盘子从3号柱挪到2号柱
  3个以下盘子同样移法

分治策略

解决问题的典型策略：分而治之
将问题分为若干更小规模的部分
通过解决每一个小规模部分问题，并将结果汇总得到原问题的解
分治策略和递归算法有着天然的联系

优化问题

• 计算机科学中许多算法都是为了找到某些问题的最优解
  例如，两点之间的最短距离；
  能最好匹配一系列点的直线；
  或者满足一定条件的最小集合
• 经典案例：兑换最小个数的硬币问题
  假设为一家自动售货机厂家编程序，自动售货机要每次找给顾客最少数量硬币
  人们会采用各种策略来解决这些问题，例如最直接的“贪心策略”
  一般会这么做：从最大面值的硬币开始，用尽量多的数量;
  有余额的，再到下一最大面值的硬币，还用尽量多的数量，直到最小面值硬币为止

贪心策略Greedy Method

每次都试图解决问题的尽量大的一部分
对应到兑换硬币的问题，就是每次以最多数量的最大面值硬币来迅速减少找零面值
贪心策略适用于“局部最优等同于总体最优”的问题求解。
即第一步分解的问题可解决的方法尽量接近总体目标，不存在回溯的问题。

找零兑换问题：递归解法

• 首先确定基本结束条件，兑换硬币这个问题最简单直接的情况就是，需要兑换找零，其面值正好等于某种硬币

• 其次减小问题的规模，我们对每种硬币尝试一次

• 对递归解法进行改进的关键在于消除重复计算：可以用一个表将计算过的中间结果保存起来，在计算之前查表看看是否已经计算过

• 这个算法的中间结果就是部分找零的最优解，在递归调用过程中已经得到的最优解被记录下来
  在递归调用前，先查找表中是否已有部分找零的最优解
  如果有，直接返回最优解而不进行递归调用
  如果没有，则进行递归调用
  这种改进叫做记忆化或者函数值存储技术
  可用来解决递归重复计算的问题

动态规划

• 动态规划算法采用了一种更有条理的方式来得到问题的解
• 找零兑换的动态规划解法从最简单的“1分钱找零”的最优解开始，逐步递加上去，直到我们需要的找零钱数
• 在找零递加过程中，设法保持每一分钱的递加都是最优解，一直加到求解找零钱数，自然得到最优解
• 递加过程中保持最优解的关键是，其依赖于更少钱数最优解的简单计算，而更少钱数的最优解已经得到了
• “问题的最优解包含了更小规模相同问题的最优解”，这是一个最优化问题能够用动态规划策略解决的必要条件
  包括：仅依赖于规模小的最优解
• 动态规划并不是递归函数
  动态规划中最主要的思想是：
  从最简单情况开始到达所需找零的循环
  其每一步都依靠以前的最优解来得到本步骤的最优解，直到得到答案。
  把小规模相同问题的最优解先算出来。

tips

递归与动态规划不同点：
递归+函数值缓存技术：要什么就算什么，从n(最后，即最大规模)开始，递归调用，所以缓存中的函数值什么时候被算出来未知
动态规划：直接找到最简单的情况，从最简单的情况向目标迭代。
使用动态规划解决问题的要求：大规模问题的解包含了其部分问题的解

背包问题和单词最短编辑距离，如果使用递归来求解，就使用了分治策略；如果使用动态规划则不属于。
列表适用于密集数据集；字典适用于稀疏数据集；集合中的数据项无次序关系，其数据项需要去重复。
记忆化递归求解效率一般高于动态规划，但是递归主要问题是递归会使用系统调用栈，受系统资源影响较大

可迭代对象是可以对包含数据项逐个枚举的对象
集合是“简版”字典，只有key没有value的字典，都是通过散列表来实现

tips2 良好的代码风格

可读性

变量、函数命名：必要的注释（关键点、函数参数返回值）
代码格式（PEP8自动格式化）

可维护性

尽量不用全局变量；
不依赖于某些特定缺省值；
不硬编码某些特定位置、特定值；

可扩展性

一些变量用符号代替，并集中放在文件头部
不要import *
用类的接口方法不是类变量

背包问题和伪多项式时间复杂度

0-1背包问题的复杂度O（nW）是个多项式时间复杂度
但是在图灵机等价的计算模型下
背包问题的规模取决于最大重量W的二进制位数logW
当logW增加1，计算时间就是原来的2倍，这是指数增长（2**logW）
背包问题是个NP问题，目前尚未找到真正的多项式时间复杂度问题

另一个具有伪多项式时间复杂度算法的NP问题是判断素数
其输入规模为数N的二进制位数logN
当logN增加1，计算时间就是原来的2倍
实际的计算机整数是固定长度，已经预留了至少32bits二进制

当logW增加1，计算时间就是原来的2倍，这是指数增长（2**logW）
背包问题是个NP问题，目前尚未找到真正的多项式时间复杂度问题

另一个具有伪多项式时间复杂度算法的NP问题是判断素数
其输入规模为数N的二进制位数logN
当logN增加1，计算时间就是原来的2倍
实际的计算机整数是固定长度，已经预留了至少32bits二进制