讲清楚了反卷积

搞明白了卷积网络中所谓deconv到底是个什么东西后，不写下来怕又忘记，根据参考资料，加上我自己的理解，记录在这篇博客里。

先来规范表达

• 为了方便理解，本文出现的举例情况都是2D矩阵卷积，卷积输入和核形状都为正方形，x和y轴方向的padding相同，stride也相同。
• 记号： 
   i,o,k,p,s  分别表示：卷积/反卷积的输入大小  input size ，卷积/反卷积输出大小  output size ，卷积/反卷积核大小  kernel size ，  padding ，  stride  。
• 举例（如下左图）： 
  输入  X∈ℝ(4,4) 矩阵，卷积核  w∈ℝ(3,3)，padding=0，stride=1 的情况下，卷积的输出  Y∈ℝ(2,2) ，就记为  i=4,o=2,k=3,p=0,s=1  。

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推翻错误的理解

第一次看到deconv这个词，以为deconv的结果就是卷积的逆，觉得神奇，不禁产生了“哦？转置的卷积就可以求逆了吗？”这样的想法，然后在matlab里面实验求证，我还记得当时以为反卷积能够求逆，考虑到图片进行常规卷积操作输出大小又不可能变大（same/valid），于是我还假设反卷积输出大小不变，用了same padding和原核的转置作为反卷积配置，结果发现根本不是那么一回事好吗。 
其实DL中的deconv，是一种上采样过程，举个比方：输入  X∈ℝ(4,4) 矩阵，卷积核  w∈ℝ(3,3)，pad=0，stride=1 的情况下（如下左图），卷积的输出  Y∈ℝ(2,2) 。对  Y 进行deconv，它只能做到把还原输出大小到和  X 一样大，输出值和  X 有那么一点联系。 
所以啊deconv这个名字相当误导人呐！这在cs231n课程里也被吐槽过，大家现在更喜欢用transposed conv来表述反卷积。为了方便起见，后文就用反卷积这个词了。

第二个容易confused的地方，就是很多文章都说卷积核的转置就可以求反卷积，又陷入迷茫“就算把卷积核转置（或者左右翻转上下翻转），卷积后输出还是越来越小（或不变，至少不会增大）啊”……直到看到文献和相应的这个动画（其他动画在github-convolution arithmetic1）

卷积   i=4,k=3,p=0,s=1,则 o=2	反卷积  i=2,k=3,p=0,s=1,则 o=4

注意图中蓝色（下面）是输入，绿色（上面）是输出，卷积和反卷积在  p、s、k  等参数一样时，是相当于  i 和  o  调了个位。 
这里说明了反卷积的时候，是有补0的，即使人家管这叫no padding（  p=0 ），这是因为卷积的时候从蓝色  4×4  缩小为绿色  2×2 ，所以对应的  p=0  反卷积应该从蓝色  2×2  扩展成绿色  4×4 。而且转置并不是指这个  3×3  的核  w  变为  wT ，但如果将卷积计算写成矩阵乘法（在程序中，为了提高卷积操作的效率，就可以这么干，比如tensorflow中就是这种实现），  Y⃗ =CX⃗  （其中  Y⃗   表示将  Y⃗   拉成一维向量，  X⃗   同理），那么反卷积确实可以表示为  CTY⃗  ，而这样的矩阵乘法，恰恰等于  w  左右翻转再上下翻转后与补0的  Y  卷积的情况。

然后就产生了第三个confuse：“补0了会不会有影响，还能通过反卷积近似输入  X  吗？”其实反卷积也不一定能达到近似的效果，图像里的卷积，相当于一种相关操作，而反卷积维持了这种相关操作时的  w  与  X 、与  Y  之间的联系维持了。至于补0后操作是否还等价，上一段已经说明了是等价的，读者可以在阅读完后面的文章后自己尝试一下。

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反卷积以及反向传播的过程

卷积和反卷积的过程在arXiv-A guide to convolution arithmetic for deep learning2写的非常详细，还有很多例子便于理解，在这里我就截图出重点来（ps.文中的figure2.1就是上图的左边）。剩下的例子请大家多看看原文，最好自己动手算一下，我也贴个我算的过程（  Ci  表示矩阵  C  的第  i  行），供参考。 
关于反向传播， 知乎-如何理解深度学习中的deconvolution networks3有详细的推导过程。