从数学优化到视觉设计

2019年11月，美国普林斯顿大学出版社出版了美国欧柏林学院数学教授罗伯特·博施的著作OPT ART：From Mathematical Optimization to Visual Design（本文作者译为“优化艺术：从数学优化到视觉设计”）。

书中有一幅图，远看是美国前总统奥巴马的头像，近看是无数白色块嵌在黑色背景上。具体点说，这些白色块是双九多米诺骨牌上的白点。所谓“双九”，是说每块骨牌分成两个区，每个区内有0到9个不等的白点，表示不同的数字。一套双九多米诺骨牌有55张。奥巴马的头像是用44套骨牌（共2420张）拼出来的。必须巧妙地安放这些骨牌，才能使肉眼觉得这些深浅、明暗不同的色块组成了有意义的图像。

40年前，贝尔实验室的计算机科学家兼艺术家Ken Knowlton（1931年生）首创将多米诺骨牌用作视觉表达的媒介。用骨牌创作奥巴马头像的则是本书作者博施，他大大提升了书呆子爱玩的骨牌拼图游戏的层次。他的目标，不仅是用骨牌拼出一个与原图很像的图形，而且要求拼图的光影模式与原图密切匹配。本书介绍了优化图形作品的概念，以及创作此类作品的计算工具。

例如，他用55×88的网格将奥巴马头像照片划分为4840个方块。原图的灰度被压缩为10个数值，0表示最暗，9表示最亮。然后，在每两个相邻方块上放置一块骨牌，使得每块骨牌两个区的各自点数与所覆盖的相邻方块的灰度值尽可能对应。这里有很多说道，不仅要选择合适的骨牌，还得知道按什么方向去置放骨牌。最后，每一方块上都覆盖了骨牌，44副骨牌的每一块都确定了自己的位置。

怎么知道这2420块骨牌安放得近乎完美呢？这是很难的。要知道，只用一副双九多米诺骨牌，不同的安放方案之数量就大于10的73次方！博施采用线性规划法来回答这个问题。在这里，“线性”意味着解空间里只有直线和平面，没有曲线。

线性优化问题之解决工具所出自的环境与艺术是八竿子打不着的。从历史上说，人们应用线性优化的领域主要是商业和经济、物流、管理、军事规划等等。比如，航空公司可用线性规划法来获得飞机、航线和乘员人数之间的最优组合。化工厂可用线性规划法来安排多种产品的生产，使得利润最大。

博施让我们认识到，有时候，艺术其实也是一种满足限制条件的解题练习。他举例说，点彩画新印象主义代表画家乔治·修拉在创作布面油画《大碗岛的星期天下午》时，就要完成这样的任务：“对自己在河畔所见景象进行尽可能好的描绘，但要受限于两条自己规定的严格条件：必须将各种色彩分开，必须将精准的小点画在画布上。”这一任务就有点像用多米诺骨牌来拼图了。

博施平时讲授的课目中就包括“优化”。在本书中，他提了一个问题：用数量有限的乐高积木块，能搭出什么东西来？为回答此问题，他首先简单介绍了一些基础性数学知识；然后讲解“每块瓷砖覆盖一个方块”这样的简单马赛克拼图可用什么样的优化程序来解决；接着，他再处理挑战性较大的多米诺骨牌覆盖问题。

本书还介绍了另一种数据优化型艺术作品：将若干散点用“一笔画”式的连续线条勾连起来，并构成一幅图形。这个问题与计算机科学中著名的“旅行推销员”难题是同构的。

然后，博施又呈现了将优化程序施用于各种事物（纽结、马在国际象棋棋盘上走过的位置、迷宫、施加进一步限制条件的瓷砖铺嵌，等等）所生成的其他玄妙图形。

总之，本书引导读者领略了数学与艺术融合的美好风光。博施在数学和艺术上都倾注了同样的热情。在书里，艺术作品不单单是吸引读者的噱头，数学也不单单是生成艺术图形的工具。二者都具有深刻的内在魅力。

本书不足之处在于，如果读者想循着作者的思路亲自动手探索一番优化艺术，却不能在书中找到有效的指导。而且，作者采用的计算机软件包Gurobi Optimizer只开放给在学术机构工作的人免费试用，一般读者无法享用。

编辑 ∑Gemini
来源：科学网博客·武夷山

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