Matlab建模——线性规划

（1）MATLAB中线性规划的标准型为：
$$min{c}^{T}x$$
$$s.t.\{\begin{array}{ll}Ax\le b& \\ Aeq\cdot x=beq& \\ lb\le x\le ub& \end{array}$$
基本函数形式为linprog(c,A,b)，它的返回值是向量x的值。（可以help linprog）
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X₀，OPTIONS)
fval返回目标函数的值，LB,UB分别是变量x的下界和上界，x₀是x的初始值，OPTIONS是控制参数。
栗子：
求解下列线性规划问题：
$$maxz=2x(1)+3x(2)-5x(3)$$
$$s.t.\{\begin{array}{ll}x(1)+x(2)+x(3)=7& \\ 2x(1)-5x(2)+x(3)\ge 10& \\ x(1)+3x(2)+x(3)\le 12& \\ x(1),x(2),x(3)\ge 0& \end{array}$$

\\记住：代码要按照标准型写，要将原来给出的式子进行变换，转换成标准型
c=[2;3;-5];
a=[-2,5,-1;1,3,1];
b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))
value=c'*x

（2）指派问题
栗子：分配n人去干n项工作，每人干且只干一项工作，若分配第i人去干第j项工作，需花费c_ij单位时间，问应如何分配工作才能使工人花费的总时间最少？
求解指派问题用匈牙利算法：如果系数矩阵C=（c_ij）一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵B=（b_ij），则以C或B为系数矩阵的指派问题具有相同的最优解。
（3）对偶问题
考虑以下线性规划：
$$max{c}^{T}xs.t.Ax\le b,x\ge 0（原始问题）$$
和
$$min{b}^{T}ys.t.A^{T}y\ge c,y\ge 0(对偶问题)$$
对偶问题可以看作是原始问题的“行列转置”：
（1）原始问题中的第j列系数与其对偶问题中的第j行的系数相同
（2）原始目标函数的各个系数行与其对偶问题中右侧的各常数列相同
（3）原始问题右侧的各常数列与其对偶目标函数的各个系数行相同
（4）在这一对话题中，不等式方向和优化方向相反
对偶问题的基本性质：
（1）对称性：对偶问题的对偶是原始问题
（2）弱对偶性：若$\overline{x}$是原始问题的可行解，$\overline{y}$是对偶问题的可行解。
（3）无界性：若原问题为无界解，则对偶问题无可行解。
（4）可行解是最优解的性质：若$\hat{x}$是原问题的可行解，那么$\hat{y}$是对偶问题的可行解，当c^T $\hat{x}$=b^T $\hat{y}$时，$\hat{x}$，$\hat{y}$是最优解。
（5）对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标函数值相同。
（6）互补松弛性：若$\hat{x}$，$\hat{y}$分别是原问题和对偶问题的最优解，则
$${\hat{y}}^T(A\hat{x}-b)=0,{\hat{x}}^T(A^T\hat{y}-c)=0$$
(4)灵敏度分析
因此可以提出两个问题：
第一：当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化。
第二：这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解或最优基不变。
栗子：投资组合，使得利润最大化，风险尽可能小。
可以建立三个模型：
（1）固定风险水平，优化收益
（2）固定盈利水平，减小风险
（3）对风险和收益分别赋予权重s(0$\le$ s $\le$ 1 ),s称为投资偏好系数。
这里对模型一进行求解：
$$minf=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(x(0),x(1),x(2),x(3),x(4))$$
$$s.t.\{\begin{array}{ll}x(0)+1.01x(1)+1.02x(2)+1.045x(3)+1.065x(4)=1& \\ 0.025x(1)\le a& \\ 0.015x(2)\le a& \\ 0.055x(3)\le a& \\ 0.026x(4)\le a& \\ x(i)\ge 0(i=0,1,2,...,4)& \end{array}$$
\a是任意给定的风险，根据情况而定。这里以a=0开始，以步长为$\Delta$a=0.001进行循环搜索。具体代码如下：

a=0;
hold on 
while  a<0.05
    c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
    A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
    b=a*ones(4,1);
    Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
    beq=1;
    LB=zeros(5,1);
    [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
    Q=-Q;
    plot(a,Q,'*r');
    a=a+0.001;
end
    xlabel('a'),ylabel('Q')

结果分析：
（1）风险越大，收益越大
（2）当投资越分散时，投资者承担的风险就越小，这与题意一致。即 冒险的投资者会出现集中投资的情况，而保守的投资者会偏向于分散的投资。
（3）在a=0.006附近有一个转折点，靠左边，风险增加很少时，利润增长的很快，但是右边，风险增加很大时，利润增长的缓慢，所以对于风险和收益没有持有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a=0.6%,Q=20%,所对应的投资方案为：
a=0.006,Q=0.2019,x(0)=0,x(1)=0.24,x(2)=0.4,x(3)=0.1091,x(4)=0.2212