马科维茨投资组合理论

Chapter 7

马科维茨投资组合理论

问题描述

即对以下问题求解：

Max:U=E(r)−12Aσ2

s.t.

∑iωi=1

不考虑做空的情况下，加一条限制条件 ωi>0

目标函数及约束条件中：

E(r)=∑iωiE(ri)σ2=ω⃗ TCω⃗ 

注：

A 为个人投资者的风险厌恶度， ωi 为每种资产的配置比例， ω⃗  为各资产配置比例列向量， C 为各资产 ri 的协方差矩阵，是一个实对称方阵。

问题分解

可以直接将资产不区分无风险资产和有风险资产，代入所有已知条件求 Umax 及对应的 ω⃗  。

但也可以将问题分解，首先只考虑风险资产的配置比例问题，然后再考虑无风险资产与风险资产的配置比例问题。

Step 1 风险资产的内部配置对应的 E−σ 可行域及边界曲线

现在假设投资仅限于风险资产（且不做空）:

• 当只有2种风险资产组合时，不同配置比例下的 E(r)−σ(r) 可行域为一条曲线

• 当有多于2种风险资产组合时，不同配置比例下的 E(r)−σ(r) 可行域为一个二维有界区域 Σ 。其左上部分边界为一条上凸曲线 f(E,σ)=0 ，为需要求的边界曲线，称为有效前沿

具体如何求 Σ 的左上部分边界曲线，即为以下问题

Min:σ2=ωTCω

s.t.

E=∑iωiRi∈[E(rmin),E(rmax)]∑iωi=1

不考虑做空的情况下，加一条限制条件 ωi>0

注：
A为个人投资者的风险厌恶度， ωi 为每种风险资产的配置比例， ω 为各风险资产配置比例列向量， R 为各风险资产的预期收益率，C为各风险资产 ri 间的协方差矩阵，是一个实对称方阵，E为区间内某个可能值，遍历所有可能的E即可得到所求边界曲线。

上述等式约束条件的二次型问题可以用拉格朗日乘子法求解，问题变为：

L(ω)=ωTCω+λ1(E−RTω)+λ2(1−ωTI0))∇ωL(ω,λ)=0∇λL(ω,λ)=0

求解 ∇ωL(ω) ：

=∇ωTr(L(ω))
=∇ωTr(ωωTC)−λ1∇ωTr(ωTE)−λ2∇ωTr(ωTI0)
=∇ωTr(ωIωTC)−λ1E−λ2I0
=Cω+CTω−λ1E−λ2I0
=2Cω−λ1E−λ2I0=0

若 C 可逆，则 ω=12C−1(λ1E+λ2I0) ，结合两个约束条件即可得 λ1 与 λ2 ，求得 ω 。

Step 2 无风险资产与风险资产的配置比例求解

∀(E,σ)∈Σ ，均可作为一个可行解，我们从 Σ 中任取一点 (Ep,σp) ，其对应的配置比例为 ω⃗ p 。

下面，考虑该内部配置为 ω⃗ p ，预期收益为 Ep ，标准差为 σp 的风险资产与无风险资产的配置问题。

从Chapter 6 中可以知道，效用函数取最大值 Up 时，效用无差异曲线与资本配置线相切，且 Up 随着资本配置线的夏普比率 S 增大而增大。

证明：

U=E−12Aσ2⇒U=Ef+y(Ep−Ef)−12Aσ2py2⇒最大值Up=(Ep−Ef)22Aσ2p+Ef=S22A+Ef

进一步考虑，什么样的 (Ep,σp) 会使 Up 取最大值。通过图像可知，与 Σ 左上边界线相切的资本配置线有着最大的 S 值，因而对应着 Up,max ，此时的配置比例即为最优配置。